书上写循环群的生成元不是使所有元素都等于它的幂吗，后面又写了个定理说对于任何小于群的阶数n且与他互素的都是生成元，这是什么意思啊，比如15阶循环群G=<a>，它的生成元有a，a^2,a^4,……,a^14，像a^2,a^4怎么是生成元的，其他元素像a^14能表示成它们的整数次幂吗？
还有子群的问题，说n的每个正因子d恰好有一个d阶子群，但是书上的例子G是模12加群，12的正因子有1,2,3,4,6,12，那么<12>=<0>={0}后面注释是1阶子群，不应该是12阶子群吗？
还有一道题设G=<a>是15阶循环群，它的子群有<a>,<a^3>={a^3,a^6,a^9,a^12,e},<a^5>={a^5,a^10,e},G。这里面<a^3>,<a^5>我能明白，但<a>,G是什么意思，它们是哪个因子的子群啊？
学习离散数学很多地方看不懂，求求大神帮我解答，感激不尽！
第1个回答 2013-11-23
1、n阶循环群<a>={e,a,a^2,...,a^(n-1)}，则a^n=e，e是单位元。生成元除了a，还可以是a^k(1＜k＜n，至于更高幂次没有讨论讨论的意义，因为一定有a^(n+k)=a^k，k＜n)，那么k一定与n互素。只要你求出b=a^k的所有不超过n-1的幂次，就会发现b^0=e,b,b^2,...,b^(n-1)一定包含了所有的e,a到a^(n-1)。
比如n=15时，k可以取值2，那么b=a^2的各个幂次的结果是：b^0=e，b=a^2，b^2=a^4，b^3=a^6，b^4=a^8，b^5=a^10，b^6=a^12，b^7=a^14，b^8=a^16=a，b^9=a^18=a^3，b^10=a^20=a^5，b^11=a^22=a^7，b^12=a^24=a^9，b^13=a^26=a^11，b^14=a^28=a^13。这样<a^2>生成的循环群还是<a>。
2、群的阶指的是元素的个数。n阶群的子群H的阶r一定是n的因子。<12>=<0>={0}里面只有一个元素，自然是1阶子群了。
3、群G的子群有两个特殊的，一个是1阶子群{e}，一个包含所有元素的自身G，这两个称为平凡子群。
G=<a>是15阶循环群，子群<a>不就是G自身嘛，貌似这个地方应该是<e>。G的子群是1阶子群<e>={e}，3阶子群<a^5>，5阶子群<a^3>，15阶子群G。本回答被提问者采纳
比如n=15时，k可以取值2，那么b=a^2的各个幂次的结果是：b^0=e，b=a^2，b^2=a^4，b^3=a^6，b^4=a^8，b^5=a^10，b^6=a^12，b^7=a^14，b^8=a^16=a，b^9=a^18=a^3，b^10=a^20=a^5，b^11=a^22=a^7，b^12=a^24=a^9，b^13=a^26=a^11，b^14=a^28=a^13。这样<a^2>生成的循环群还是<a>。
2、群的阶指的是元素的个数。n阶群的子群H的阶r一定是n的因子。<12>=<0>={0}里面只有一个元素，自然是1阶子群了。
3、群G的子群有两个特殊的，一个是1阶子群{e}，一个包含所有元素的自身G，这两个称为平凡子群。
G=<a>是15阶循环群，子群<a>不就是G自身嘛，貌似这个地方应该是<e>。G的子群是1阶子群<e>={e}，3阶子群<a^5>，5阶子群<a^3>，15阶子群G。本回答被提问者采纳
第2个回答 2013-11-23
生成元不是唯一的.追问
请说得清楚一点，不是唯一的，但是像a^4可以生成a^14吗?
追答需要满足一定条件才能作为生成元. 楼主问题里面不是提到还有一个定理.
追问对啊。。它不满足条件但是根据定理却可以成为生成元，这是怎么回事啊？
