椭圆焦点三角形 除了 2a+2c 还有什么别的公式么

运用公式
设P为椭圆上的任意一点，

角F1F2P=α ，F2F1P=β， F1PF2=θ，

则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，

焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。

证明方法一

设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n，

由射影定理得2c=mcosβ+ncosα，

e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)，

由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/
(sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。

证明方法二

对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n

则m+n=2a

在△F1PF2中,由余弦定理:

(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ

即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)

所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2

所以mn=2b^2/(1+cosθ)

S=(mnsinθ)/2.............(正弦定理的三角形面积公式)

=b^2*sinθ/(1+cosθ)

=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2

=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)