已知F1（-2,0），F2(-2,0)为焦点的椭圆与直线x+√3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为？

解：因为为椭圆，因此a，b，c之间满足如下的关系
a^2－b^2＝c^2＝4，则a^2＝4＋b^2，
则有椭圆方程为：x^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1。
由直线x＋√3y＋4＝0，得：x＝－4－√3y，代入上述椭圆方程中，得：
（－4－√3y）^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1，
则 b^2（4＋√3y）^2＋（4＋b^2）y^2＝（4＋b^2）b^2，化简得
4（1＋b^2）y^2＋8√3b^2y＋（12－b^2）b^2＝0。
因为直线x＋√3y＋4＝0与椭圆x^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1只有一个交点，
则有 ：（8√3b^2）^2－4［4（1＋b^2）］［（12－b^2）b^2］＝0，
即 12b^4－（1＋b^2）（12－b^2）b^2＝0。
则有 b^4＋b^2－12＝0，　（b^2＋4）（b^2－3）＝0，
所以 b^2＝3，
于是有：a^2＝4＋b^2＝4＋3＝7，　a＝√7，　2a＝2√7。
椭圆长轴长为2√7。

可设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1由题意知 a²=b²+4
x²/a²+y²/b²=1 x+√3y+4=0得（-√3y-4）²/a²+y²/b²=1整理得
(3b²+a²)y²+8b²√3y+16b²-a²b²=0由题意判别式△=0即
192(b²)²-4[(3b²+a²)+16b²-a²b²]=0
将a²=b²+4代入并整理得196(b²)²-64b²-16=0
解得b²=4√65
a²=b²+4=4√65 +4
椭圆的长轴长为2a=4√（√65 +1）追问

答案不对。

追答

可设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1由题意知 a²=b²+4
x²/a²+y²/b²=1 x+√3y+4=0得（-√3y-4）²/a²+y²/b²=1整理得
(3b²+a²)y²+8b²√3y+16b²-a²b²=0由题意判别式△=0即
192(b²)²-4[(3b²+a²)(16b²-a²b²)]=0
将a²=b²+4代入并整理得a²b²(b²-3)=0
解得b²=3
a²=b²+4=7椭圆的长轴长为2a=2√7

有图有真相的，要不？？追问

高手来了，呵呵。必须要啊。
不好画图，在hi里一样啊。

追答

可以这样思考：
假如椭圆与直线有两个交点A、B，则线段AB就一定在椭圆内，在线段AB上任取一点P，则：
AF1＋AF2=BF1＋BF2=2a，因点P在椭圆内，则：PF1＋PF2<2a，所以有：
PF1＋PF2<AF1＋AF2
也就是说，当直线与椭圆有一个交点Q时，此时应该是直线上的点与椭圆两个焦点F1、F2的连线段长度之和最小。
作点F1(－2，0)关于直线x＋√3y＋4=0的对称点是F1'(－3，－√3)，则：
2a=F1Q＋F2Q=F1'F2=2√7，因c=2，则：b²=3，则所求椭圆是：
x²/7＋y²/3=1

追问

嘿嘿。专家的解答不错。

追答

战战兢兢。。

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