数学归纳法的详细分类

数学归纳法是严谨的归纳,是一种证明方法

数学归纳法：数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
（一）第一数学归纳法： 　　
一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤： 　　
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； 　　（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 　　
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 　　
（二）第二数学归纳法： 　　对于某个与自然数有关的命题P(n）， 　　
（1）验证n=n0时P(n）成立； 　　
（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。 　　
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 　　
（三）倒推归纳法（反向归纳法）： 　　
（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）； 　　
（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 　　
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立； 　　
（四）螺旋式归纳法 　　对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n）， 　　
（1）验证n=n0时P(n）成立； 　　
2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。
变体及应用
　　在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
从0以外的数字开始
　　如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改： 　　第一步，证明当n=b时命题成立。第二步，证明如果n=m(m≥b）成立，那么可以推导出n=m+1也成立。 　　用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。
针对偶数或奇数
　　如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 　　奇数方面： 　　第一步，证明当n=1时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。 　　偶数方面： 　　第一步，证明当n=0或2时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
递降归纳法
　　数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。如果命题P(n）在n=1,2,3,......,t时成立，并且对于任意自然数k，由P(k),P(k+1）,P(k+2）,......,P(k+t-1）成立，其中t是一个常量，那么P(n）对于一切自然数都成立.
其它形式
　　如跳跃数学归纳法的定义 　　通常，跳跃数学归纳法的第二步总是由k推出,跨度为n 。但是并不是对于所有的问题都能解决.
编辑本段合理性
　　数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。比如，由下面的公理可以推出数学归纳法原理： 　　自然数集是良序的。 　　注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。
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