匹配的图的定义

设有M个工人x1,x2，…，xm，和N项工作y1,y2，…，yn，规定每个工人至多做一项工作，而每项工作至多分配一名工人去做。由于种种原因，每个工人只能胜任其中的一项或几项工作。问应怎样分配才能使尽可能多的工人分配到他胜任的工作。这个问题称为人员分配问题。
人员分配问题可以用图的语言来表述。令X={x1,x2，…，xm}，Y={y1,y2，…，yn}，构造二分图G=(X,Y,E）如下：
对于1≤i≤m，1≤j≤n，当且仅当工人xi胜任工作yi时，G中有一条边xiyi，于是人员分配问题就成为在G中求一个最大匹配的问题。
求最大匹配常用匈牙利算法，它的基本思想是：对于已知的匹配M，从X中的任一选定的M非饱和点出发，用标号法寻找M增广链。如果找到M增广链，则M就可以得到增广；否则从X中另一个M非饱和点出发，继续寻找M增广链。重复这个过程直到G中不存在增广链结束，此时的匹配就是G的最大匹配。这个算法通常称为匈牙利算法，因为这里介绍的寻找增广链的标号方法是由匈牙科学者Egerváry最早提出来的。
理解了这个算法，就不难写出人员分配问题的解答了。在给出程序之前，先做一些假设：
为了简单起见，假设工人数等于工作数，即N=M，且N≤100，这里，N也可以看作是二分图的|X|和|Y|。
数据从文件input . txt中读入，首先是N和|E|，下面|E|行每行两个数（I,J），表示工人I可以胜任工作J，即二分图中的边xiyj。
结果输出到文件output . txt，第一行是最大匹配数s，下面s行每行两个数（I,J），表示分配工人I做工作J，即匹配边xiyj。 对于上面的人员分配问题，如果还考虑到工人做工的效率，就可以提出所谓的分派问题：应该怎样分配才能使总的效率最大？
同上一节，我们可以构造一个二分图G，如果把工人xi做工作yi的效率wij看作是G中边xiyi的权，则分派问题就相当于在赋权二分图G中求一个最大全匹配。
由线性规划的知识，求二分图G的最大权匹配，只需在匈牙利算法的基础上少许改进即可。它的基本思想是，对二分图的顶点编号，然后根据编号构造一个新的二分图G’，最后把求G的最大权匹配转换为求G’的完美匹配。
下面的这条定理是这个算法的理论基础。
定理：设M是赋权图（权非负）的完全二分图G=(V，E）的一个完美匹配，这里M是E的子集。如果M满足：对G的任意一个完美匹配M'，均有M的边权值之和大于M'边的权值之和，则M是G的最大权匹配。
下面，给出求最大权匹配的程序。输入文件中首先是N和|E|，下面|E|行每行三个数（I,J,W），表示工人I做工作J的效率是W。程序输出包括每个工人的选择和最后的总效益。其它假设参见上一节的算法假设。这个算 问题：FJOI-信封问题
John先生晚上写了n封信，并相应地写了n个信封将信装好，准备寄出。但是，第二天John的儿子Small John将这n封信都拿出了信封。不幸的是，Small John无法将拿出的信正确地装回信封中了。
将Small John所提供的n封信依次编号为1，2，…，n；且n个信封也依次编号为1，2，…，n。假定Small John能提供一组信息：第i封信肯定不是装在信封j中。请编程帮助Small John，尽可能多地将信正确地装回信封。其中n≤100。
例如，有4封信，而且第一封信不是装在信封1、2和3中，第2封信不是装在信封2和3中，则可以确定的第一封信装在信封4中，而且第二封信则装在信封1中。但这些条件还不足以确定第三封和第四封信的位置。
分析：
看了这道题目，感觉上和小学数学竞赛中的逻辑推理题如出一辙，而逻辑推理题的做法一般是表上作业法。
就以前面的例子为例，根据条件，可以得到如下信息：
1 2 3 4
1 × × ×
2 × ×
3
4
表格 1
由于每一行每一列都应该只有一个√，因此，可以确定第一封信装在信封4中，于是可以得到：
1 2 3 4
1 × × × √
2 × × ×
3 ×
4 ×
表格 2
然后，发现第二行有3个×，因此剩下一个肯定是√，于是就可以得出第二封信则装在信封1中：
1 2 3 4
1 × × × √
2 √ × × ×
3 × ×
4 × ×
表格 3
现在，第3行和第4行都只有两个×，因此无法确定它们放在那个信封里。
这样我们就得到了一个初步的算法：在程序中建立一个二维表格，首先，根据条件填入若干个×，然后，检查所有还未确定的行和列，看有没有一行（列）中有n – 1个×，如果没有，就结束；否则，把剩下的那一个空格填上√，并且填了√的那一行（列）的其它位置都填上×。
这种方法虽然很容易想到，但却有针对这个方法的反例，例如：
图表 3 一个反例
图中上半部分的顶点表示“信”，下半部分的顶点表示“信封”，如果信i可能放在信封j中，则在信i和信封j之间连一条边。由于每个顶点的度数都大于或等于2，即每行每列都至少有两个空位，故前面的算法无法进行任何推理，而事实却并非如此，比如说中间的那封信就只能放在中间的那个信封里。
正是这个反例，使我们需要另辟蹊径。进一步分析可以发现，信和信封之间的关系，是一种一一对应的关系，这是因为一封信只能放到一个信封里，而一个信封也只能装一封信。而从信息学的角度来看，这种一一对应的关系，也可以看作是二分图的匹配关系。
令X={x1,x2，…，xm}，Y={y1,y2，…，yn}，构造二分图G=(X,Y,E），当且仅当信i可以放到信封j中，G中存在边xiyj。这样，任何一种信的分配方案，都可以看作是图G的一个完美匹配。例如上图就有且仅有如下两种完美匹配：
图表 4 所有的完美匹配
由于中间的那条匹配边在两个完美匹配中都出现了，因此我们认为这条匹配边是“确定的”，换句话说，这条边所代表的关系也是确定的。容易看出，当且仅当对于G的所有完美匹配M，都存在一条匹配边xiyj，则可以确定信i可以放到信封j中。
这样，我们就从匹配的角度建立了一个新的模型。那么，这个模型要如何求解呢？
我们当然不能枚举出G所有的完美匹配，然后再去求它们边的交集——这和搜索就没什么分别。在这里，我们需要对这个模型再做一个小小的转换：我们发现，条件“对于G的所有完美匹配M，都存在一条匹配边xiyj”，等价于“如果图G存在完美匹配，而删除图G中的一条边xiyj得到的图G’中却不存在完美匹配”。例如，左下图删除了一条“关键边”，故不存在完美匹配，而右下图删除的是一条“非关键边”，故存在完美匹配。
图表 5 删边的例子
从表面上看，这个算法的时间复杂度似乎仍然很高。因为图G中最多有n2条边，每次试着删除一条边，又需要O(n3）的时间复杂度求一次完美匹配。总的复杂度高达O(n5）。
实际上，我们可以先找到图G的一个完美匹配M，这样，删边就只需考虑匹配边了（因为删除非匹配边得到G’，M仍然是G’的完美匹配）。这样，只需删除n条边，时间复杂度就降到了O(n4）。
再进一步分析，删除一条边以后，没有必要重新找完美匹配，只需检查可不可以找到新的增广链就可以了。这样，时间复杂度就进一步降到了O(n3）。 问题：CTSC-丘比特的烦恼
随着社会的不断发展，人与人之间的感情越来越功利化。最近，爱神丘比特发现，爱情也已不再是完全纯洁的了。这使得丘比特很是苦恼，他越来越难找到合适的男女，并向他们射去丘比特之箭。于是丘比特千里迢迢远赴中国，找到了掌管东方人爱情的神——月下老人，向他求教。
月下老人告诉丘比特，纯洁的爱情并不是不存在，而是他没有找到。在东方，人们讲究的是缘分。月下老人只要做一男一女两个泥人，在他们之间连上一条红线，那么它们所代表的人就会相爱——无论他们身处何地。而丘比特的爱情之箭只能射中两个距离相当近的人，选择的范围自然就小了很多，不能找到真正的有缘人。
丘比特听了月下老人的解释，茅塞顿开，回去之后用了人间的最新科技改造了自己的弓箭，使得丘比特之箭的射程大大增加。这样，射中有缘人的机会也增加了不少。
情人节（Valentine's day）的午夜零时，丘比特开始了自己的工作。他选择了一组数目相等的男女，感应到他们互相之间的缘分大小，并依次射出了神箭，使他们产生爱意。他希望能选择最好的方法，使被他选择的每一个人被射中一次，且每一对被射中的人之间的缘分的和最大。
当然，无论丘比特怎么改造自己的弓箭，总还是存在缺陷的。首先，弓箭的射程尽管增大了，但毕竟还是有限的，不能像月下老人那样，做到“千里姻缘一线牵”。其次，无论怎么改造，箭的轨迹终归只能是一条直线，也就是说，如果两个人之间的连线段上有别人，那么莫不可向他们射出丘比特之箭，否则，按月下老人的话，就是“乱点鸳鸯谱”了。
作为一个凡人，你的任务是运用先进的计算机为丘比特找到最佳的方案。
输入文件第一行为正整数k，表示丘比特之箭的射程，第二行为正整数n(n<30），随后有2n行，表示丘比特选中的人的信息，其中前n行为男子，后n行为女子。每个人的信息由两部分组成：他的姓名和他的位置。姓名是长度小于20且仅包含字母的字符串，忽略大小写的区别，位置是由一对整数表示的坐标，它们之间用空格分隔。格式为Name x y。输入文件剩下的部分描述了这些人的缘分。每一行的格式为Name1 Name2 p。Name1和Name2为有缘人的姓名，p是他们之间的缘分值（p为小于等于255的正整数）。以一个End作为文件结束标志。每两个人之间的缘分至多只被描述一次。如果没有被描述，则说明他们缘分值为1。
输出文件仅一个正整数，表示每一对被射中的人之间的缘分的总和。这个和应当是最大的。
分析：
题目中出现了三类物体和两种关系，我们一个个的来分析：
丘比特的箭，它有一个属性是射程，
男人和女人，他们的属性包括名字和位置，
男人和女人之间的关系，这个关系是他们俩的缘分值，
箭与男女的关系，如果两人的距离不超过箭的射程，并无他人阻挡，则可能被箭射中。题目就是要求一种射箭的方案，使得所有被射中的男女的缘分和最大。
这个问题很像是要求一个二分图的最大权匹配。因为男人和女人分属两个集合，而且同性之间没有任何关系，因此是一个二分图。而把缘分值记做边上的权，则缘分和最大，就对应了这个二分图中的一个最大权匹配。
要注意的是，题目中虽然说明没有被描述的男女之间缘分值为1，但这并不代表所得到的二分图是完全二分图。因为在构图的过程中，我们必须还考虑到箭的射程等因素——如果两人的距离超过了箭的射程，则他俩注定无缘了。
这时问题就来了，因为题目中除了要求缘分和最大之外，还要求“被丘比特选择的每一个人都要被射中一次”。
你可能会觉得，要缘分和越大，当然被射中的人越多越好，其实并不是这样。例如：
图表 6 一个反例
如果要求最大权匹配，则会选择匹配边AD，缘分和为10。但由于每个人都要被射中一次，因此我们只能选择AC和BD，缘分和为2。
换句话说，对于这个例子，正确答案应该是2，而最大权匹配的值却是10。这说明，这道题目和简单的最大权匹配还是有区别的，因为题目再要求权值最大的同时，还要求是一个完美匹配，我们称之为“完美”的最大权匹配。
那么，这道题是否就不能用最大权匹配来做了呢？先别急，我们再来回顾一下求最大权匹配的算法：我们通过对顶点编号，将图G转化为G’，然后在把求G的最大权匹配转换为求G’的完美匹配——这里好像就是求完美匹配，但对于上面的那个例子，又为什么不呢？
原来，对于上面的例子，在标号过后，新的图G’中加入了一条新的边BC，而这条边的权值是0，在图G’中的完美匹配，实际上是AD和BC，对应到图G中，就是边AD了。
因此，如果我们预先把BC的边的权值设为－∞，再求图中的最大权匹配，就不会再有问题了。
更一般的，如果要求二分图的“完美”的最大权匹配，只需将原图中没有的边的权值设为－∞，就可以了。 问题：IPSC-Magic
一个著名的魔术师上台表演，跟着他的是一位漂亮的女助手。魔术师先从他的魔术帽中拽出了几只兔子，接着他又从女助手的围巾中变出了一束鲜花，最后，他把女助手锁在一个看上去空着的箱子里。然后，魔术师选了一个观众来配合一个表演：他在一个桌子上摆出N张牌（所有N张牌两两不同，且N为奇数）。魔术师让这位自愿者走上讲台从中选出（N+1)/2张牌，其余的牌都在魔术师的帽子里永远的消失了。魔术师在选出的牌上方晃了晃手，接着他选出其中一张交给那一位自愿者，自愿者向观众展示了手中的这张牌，随后又将其藏在自己的衣袋里。那位女助手从箱子里放出来后，来到桌前也在剩下的（N+1)/2－1张牌上方晃了晃手，马上就说出了自愿者衣袋中的是什么牌。
这是为什么呢？我们先看一下下面这张表，这是N=5的情况：
自愿者选的牌 魔术师选的牌 助手所看到的牌
1，2，3 3 1，2
1，2，4 2 1，4
1，2，5 2 1，5
1，3，4 4 1，3
1，3，5 1 3，5
1，4，5 1 4，5
2，3，4 4 2，3
2，3，5 3 2，5
2，4，5 5 2，4
3，4，5 5 3，4
表格 4
其中，自愿者选的牌－魔术师选的牌=助手所看到的牌。表中包括了自愿者选牌的所有可能性，它们两两不同。而助手所看到的牌，也是两两不同的。
首先，魔术师和他的助手都要记住这张表。这样，当助手看到的牌是2，4时，她就可以肯定自愿者选的牌是2，4，5，且魔术师选的牌就是5。
现在，告诉你n的值，要你求出这张表。其中n≤15。
分析：
为了便于分析，我们令M表示从N张牌中选取（N+1)/2张牌的方案数，显然，从这N张牌中选出（N+1)/2－1张牌的方案数也是M。
我们先从枚举的角度入手，下面给出两种枚举的方法：
对于自愿者的每种选牌的方案，枚举魔术师所选的牌。
对于自愿者的每种选牌的方案，所对应的助手看到的牌。
方案一需要M次决策，每次决策中有N种选择；方案二同样需要M次决策，而每次决策的可以有M种选择。从这点上来看，方案一要好得多。、
可是方案一所表现出来的“自愿者的选牌的方案”和“魔术师所选的牌”之间的关系并不是一一对应的关系，对于自愿者不同的选牌的方案，魔术师可以选择相同的牌。
而方案二中所表现出的关系正是一一对应的关系，因为题目要求对于自愿者不同的选牌的方案，助手看到的牌必须不同。
前面已经提到过，从信息学的角度来看，一一对应，也可以看作是一种二分图的匹配的关系。因此，方案二更容易让人联系到匹配。
令X=自愿者的选牌的方案集，Y=助手看到的牌的集合，构造二分图G=(X,Y,E），当且仅当 时，G中存在边xiyj。这样，就把原问题转换成求图G的一个完美匹配。
下面问题又来了。首先，二分图的顶点高达2M个，当N=15时，M接近8000，而求匹配的复杂度为O(M3），这样高的复杂度，如何能够承受？
注意到这个图是一个稀疏图，一共只有MN条边。而稀疏二分图匹配的复杂度也可以表示成O(|V|×|E|）。因此，时间复杂度应该是O(M2N），基本上可以承受了。
另外，由于这是稀疏图，我们用邻接表来存储，则空间复杂度仅为O(NM），同样可以承受。
最后要说明的是，这道题目也可以用构造法以获得更好的效率，但不如匹配容易想到。具体的构造方法这里就不给出了，读者可以自己想一想。 问题：OOPC-神秘之山
M个人在追一只奇怪的小动物。眼看就要追到了，那小东西却一溜烟蹿上一座神秘的山。众人抬头望去那山看起来就是这个样子：
图表 7 样例示意图
那山由N+1条线段组成。各个端点从左到右编号为0…N+1，即x<x[i+1](0≤i≤n）。而且有y[0]=y[n+1]=0。
根据经验来说那小东西极有可能藏在1…N 中的某个端点。有趣的是大家很快发现了原来M恰好等于N，这样，他们决定每人选一个点，看看它是否在躲那里。
一开始，他们都在山脚下，第i 个人的位置是（s,0）。他们每人选择一个中间点（x,0），先以速度w水平走到那里，再一口气沿直线以速度c爬到他的目的地。由于他们的数学不好，他们只知道如何选择一个最好的整数来作为中间点的横坐标x。而且很明显，路线的任何一个部分都不能在山的上方（他们又不会飞）。
他们不希望这次再失败了，因此队长决定要寻找一个方案，使得最后一个到达目的地的人尽量早点到。他们该怎么做呢？
其中1≤N≤100，0≤x,y,s≤1000，1≤c<w≤100。
输入
第一行包含一个整数N。以下N+2行每行，包含两个整数xi和yi，代表相应端点的坐标。以下N行每行包含3个整数：ci,wi和si，代表第i个人的爬山速度，行走速度和初始位置
输出
输出最后一个人到达目的地的最早可能时间，四舍五入到小数点后两位。
样例输入
3
0 0
3 4
6 1
12 6
16 0
2 4 4
8 10 15
4 25 14
样例输出
1 . 43
样例说明
在这里例子中，第一个人先到（5 .0）再爬到端点2；第二个人直接爬到端点3；第三个人先到（4 .0）再爬到端点1。如下图：
图表 8 样例的解答
分析：
题目中的数据繁多复杂，我们先把他们提出来一个个分析：
人，共n个，与之有关的有初始横坐标s，速度w和c
山头，共n个，与之有关的有坐标x和y
根据这些信息，可以得到，人和山头的关系：t[I,J]，表示第i个人到达山头j所需的最短时间。
题目中已经指明是一个人负责一个山头，这显然是一个一一对应的关系，因此，我们可以从二分图的匹配的角度来考虑这个问题。
那么，这道题目属于哪一种匹配呢？是简单的最大匹配，还是最大权匹配，或者是前面所提到的“完美”最大权匹配呢？
其实都不是。因为一般的最大权匹配，一个匹配的权的定义是该匹配中所有边上权的和，而这道题目，一个匹配的权是指该匹配的边上权值的最大值。题目要求这个最大值最小，我们暂且称之为“最小最大匹配”。
直接求解似乎不太方便。换一个角度，如果我们给出一个时间，就可以用完美匹配的算法来判断能否在这个时间内完成所有的工作。
具体的来说，对于给定的二分图G和最大时间T，我们可以导出新的图G’，G’中所有边的权都不超过T。如果G’存在完美匹配，则所有工作可以在T时间内完成，否则则不能。
这样，一个简单的算法就诞生了：依次增加T，知道求出一个完美匹配为止。由于二分图中的边不会超过n2，因此T最多增加n2次，而每次增加T的值，需要O(n2）的时间来找增广链，这样总的时间复杂度就是O(n4）。
我们还可以采用二分查找的方法来寻找这个T，这样的算法时间复杂度就可以降到为O(n3logN）。