共和国的定义是？

君主制度国家，下属还有诸侯王的，叫帝国。
君主制国家，下属还有公国，但没有王国的叫王国。
上面没有王国的独立的公国叫大公国（可以有帝国，大公国与王国平级）。
独立主权实体授予部分主权给中央政府，构成的主权实体，叫联邦/邦联。
按照授予部分主权的多少，授予的程度来区分。如果授予程度深，军事，外交主权都授予中央，这个叫联邦，如果授予程度浅，仅仅名义上联合，叫邦联。
现代的英联邦其实是一个邦联，而不是名义上叫的联邦。
欧盟也是一个邦联。
合众国仅仅是一个名称，不是国家体制，可以联邦，也可以邦联。联邦比如美利坚合众国，邦联比如阿拉伯合众国。

共和国，共和国是指实行共和制度的国家，所谓共和制是君主制的对立面，简单的说，只要不是君主制国家，就是共和制国家。
与联邦制对应的叫单一制。
联邦制是多个主权实体授予部分主权给中央政府形成的国家，单一制是中央政府向地方政府授予部分主权构成的国家。
所以你这几个概念其实并不是互相对应的概念，很多概念是重叠的。