2009年的数学竞赛初赛的试题及答案
第1个回答 2019-06-17
2007年安徽省潜山中学高中数学竞赛试题
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.
1、函数的最大值是（
）
A、2
B、
C、
D、3
2.
已知，定义，则（
）
A．
B．
C．
D．
3.
已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为
（
）
A．
B．
C．
D．
4.
已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（
）
A、
B、3
C、
D、2
5.
已知（R），且
则a的值有
（
）
（A）个
（B）个
（C）个
（D）无数个
6.
平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对
（
）
A．不存在
B．至少有一个
C．至多有一个
D．恰有一个
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7.
不等式的解集为，那么的值等于__________.
8.
定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________.
9.
等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为_______________的数列也是等比数列．
10.
在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是
11.
如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有
种（用数字作答）．
12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围
三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）
13.
在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量
(1)
求的取值范围;
（2）若试确定实数的取值范围.
14.
已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC
把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD.
15.
设椭圆的方程为
,
线段
是过左焦点
且不与
轴垂直的焦点弦.
若在左准线上存在点
,
使
为正三角形,
求椭圆的离心率
的取值范围,
并用
表示直线
的斜率.
16.
在数列中，
（Ⅰ）试比较与的大小；
（Ⅱ）证明：当时，.
参考答案：
1.B
2.
解：计算
可知是最小正周期为6的函数。即得，所以＝，故选C.
3.B
4.B
5.
D解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有
．
所以当，且时，恒有．
由于不等式的解集为，不等式
的解集为．因此当时，恒有
.
故选（D）．
6.B解：因为，所以。将区间[0，1]分成[]，
三段，则中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足的好点对（）至少有一个。所以选B.
7.
8.
＝2005
9.
10.
36π
11.
390
12.
简解：设B点坐标为（y21–4,y1），C点坐标为(y2–4,y)
显然y21–4≠0，故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC，所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x，注意到y≠y1
得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得：y≤0或y≥4.
当y=0时，点B的坐标为(–3,–1)；当y=4时，点B的坐标为(5,–3)，均满足题意。故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.
13.
【标准答案】
解：因为
所以，由正弦定理，得，
即又所以即
.
(1)=
因此的取值范围是
(2)若则,
由正弦定理，得
设=,则,
所以
即
所以实数的取值范围为
14.
（I）证明：依题意知：
（II）由（I）知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.
在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h
则
要使
即M为PB的中点.
（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（0，2，0），
C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，）
由（I）知平面，则
的法向量。
又为等腰
因为
所以AM与平面PCD不平行.
15.
解：
如图,
设线段
的中点为
．过点
、、
分别作准线的垂线,
垂足分别为
、、,
则
．假设存在点
，则
，
且
，
即
，
所以，．
于是，，
故
．
若
(如图)，则
.
当
时,
过点
作斜率为
的焦点弦
,
它的中垂线交左准线于
,
由上述运算知,
．
故
为正三角形.
若
，则由对称性得
．
又
,
所以，椭圆
的离心率
的取值范围是，
直线
的斜率为
．
16.
解：（Ⅰ）由题设知，对任意，都有
，
（Ⅱ）证法1：由已知得，
又.
当时，
设
①
则
②
①-②，得
证法2：由已知得，
（1）
当时，由，知不等式成立。假设当不等式成立，即，那么
要证
，只需证
即证
，则只需证………………10分
因为成立，所以成立.
这就是说，当时，不等式仍然成立.
根据（1）和（2），对任意，且，都有
只有这个了！
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To
Help
You!
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.
1、函数的最大值是（
）
A、2
B、
C、
D、3
2.
已知，定义，则（
）
A．
B．
C．
D．
3.
已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为
（
）
A．
B．
C．
D．
4.
已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（
）
A、
B、3
C、
D、2
5.
已知（R），且
则a的值有
（
）
（A）个
（B）个
（C）个
（D）无数个
6.
平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对
（
）
A．不存在
B．至少有一个
C．至多有一个
D．恰有一个
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7.
不等式的解集为，那么的值等于__________.
8.
定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________.
9.
等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为_______________的数列也是等比数列．
10.
在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是
11.
如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有
种（用数字作答）．
12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围
三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）
13.
在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量
(1)
求的取值范围;
（2）若试确定实数的取值范围.
14.
已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC
把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD.
15.
设椭圆的方程为
,
线段
是过左焦点
且不与
轴垂直的焦点弦.
若在左准线上存在点
,
使
为正三角形,
求椭圆的离心率
的取值范围,
并用
表示直线
的斜率.
16.
在数列中，
（Ⅰ）试比较与的大小；
（Ⅱ）证明：当时，.
参考答案：
1.B
2.
解：计算
可知是最小正周期为6的函数。即得，所以＝，故选C.
3.B
4.B
5.
D解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有
．
所以当，且时，恒有．
由于不等式的解集为，不等式
的解集为．因此当时，恒有
.
故选（D）．
6.B解：因为，所以。将区间[0，1]分成[]，
三段，则中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足的好点对（）至少有一个。所以选B.
7.
8.
＝2005
9.
10.
36π
11.
390
12.
简解：设B点坐标为（y21–4,y1），C点坐标为(y2–4,y)
显然y21–4≠0，故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC，所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x，注意到y≠y1
得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得：y≤0或y≥4.
当y=0时，点B的坐标为(–3,–1)；当y=4时，点B的坐标为(5,–3)，均满足题意。故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.
13.
【标准答案】
解：因为
所以，由正弦定理，得，
即又所以即
.
(1)=
因此的取值范围是
(2)若则,
由正弦定理，得
设=,则,
所以
即
所以实数的取值范围为
14.
（I）证明：依题意知：
（II）由（I）知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.
在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h
则
要使
即M为PB的中点.
（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（0，2，0），
C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，）
由（I）知平面，则
的法向量。
又为等腰
因为
所以AM与平面PCD不平行.
15.
解：
如图,
设线段
的中点为
．过点
、、
分别作准线的垂线,
垂足分别为
、、,
则
．假设存在点
，则
，
且
，
即
，
所以，．
于是，，
故
．
若
(如图)，则
.
当
时,
过点
作斜率为
的焦点弦
,
它的中垂线交左准线于
,
由上述运算知,
．
故
为正三角形.
若
，则由对称性得
．
又
,
所以，椭圆
的离心率
的取值范围是，
直线
的斜率为
．
16.
解：（Ⅰ）由题设知，对任意，都有
，
（Ⅱ）证法1：由已知得，
又.
当时，
设
①
则
②
①-②，得
证法2：由已知得，
（1）
当时，由，知不等式成立。假设当不等式成立，即，那么
要证
，只需证
即证
，则只需证………………10分
因为成立，所以成立.
这就是说，当时，不等式仍然成立.
根据（1）和（2），对任意，且，都有
只有这个了！
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