2010年兰州中考数学

2010年兰州市初中毕业生学业考试试卷
数 学（A）

注意事项：
1.全卷共150分，考试时间120分钟。
2.考生必须将报考学校、姓名、准 考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡
的相应位置上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

一、选择题 (本题15小题，每小题4分，共60分. 在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 函数y ＝ ＋ 中自变量x的取值范围是
A．x≤2 B．x＝3 C．x＜2且x ≠3 D．x ≤2且x≠3
3. 已知一个几何体的三种视图如右图所示，则这个
几何体是
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．正方体

4. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个
5. 二次函数 的图像的顶点坐标是
A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）
6. 已知两圆的半径R、r分别为方程 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为
A．15 B．28 C．29 D．34

第7题图 第8题图
8. 某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图. 则这组
数据的众数和中位数分别是[来源:Zxxk.Com]
A．7、7 B． 8、7.5 C．7、7.5 D． 8、6[来源:学&科&网]
9. 现有一个圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 ，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为
A． B． C． D．
10. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为
A． B． C． D．

[来源:学,科,网]

第10题图 第11题图
11. 如图所示，菱形ABCD的周长为20 ，DE⊥AB，垂足为E， A= ，则下列结论正确的个数有
① ② ③菱形的面积为 ④
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
12. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价 %后售价为128元. 下列所列方程中正确的是
A． B．
C． D．
13. 抛物线 图像向右平 移2个单位再向下平移3个单位 ，所得图像的 解析
式为 ，则b、c的值为
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
14. 已知点（-1， ），（2， ），（3， ）在反比例函数 的图像上. 下列结论中正确的是
A． B． C． D．
15. 抛物线 图像如图所示，则一次函数 与反比例函数
在同一坐标系内的图像大致为

第15题图[来源:学科网]
二、填空题（本题5小题， 每小题4分，共20分）
16. 已知关于x的一元二次方程 有实数根，则 m的取值范围是 ．
17. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰CD 以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为 ．
18. 如 图，扇形OAB，∠AOB=90 ，⊙ P 与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是 ．

第17题图 第18题图

19. 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影
子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.
20. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时 ，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.

[来源:Zxxk.Com]

第19题图 第20题图

三、解答题（本题8小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
21.（本题满分10分）
（1）（本小题满分4分） — + [来源:Zxxk.Com]
（2）（本小题满分6分） 已知：y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且
x＝1时，y＝3；x＝-1时，y＝1. 求x＝- 时，y的值．
22.（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明
想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保
留作图痕迹）．
（2）（本小题满分2分））若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC= ，试求小明家圆形花坛的面积．

第22题图
23.（本题满分6分）小莉的爸 爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两
人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，
将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并
按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两
张扑克牌数字相加，如果和 为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用数状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公
平的游戏规则．

24.（本题满分8分）如图是某货站传送货 物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，
工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.
（1）求新 传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵ 的计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈2.45)

第24题图

25.（本题满分9分）如图，P1是 反比例函数 在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为(2，0)．
（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1O A1的面积
将如何变化？
（2）若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形，求
此反比例函数的解析式及A2点的坐标．
第25题图

26.（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC= AB；
（3）点M是弧AB 的中点，CM交AB于点N，若
AB=4，求MN•MC的值.

第26题图

27.（本题满分10分）已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，
BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD= ，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=
AC= ，BD= ，试求四边形ABCD的面积（用含 ， ， 的代数式表示）．

第27题图

28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛 物线 经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）
（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形A BCD以每秒 1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
① 当 时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

图1 图2
第28题图

2010年兰州市初中毕业生学业考试试卷
数学(A)参考答案及评分标准[来源:学#科#网]
审核人：张浩 校对：陈亮
一、 选择题（本题15小题，每小题4分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7[来源:Zxxk.Com] 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 B A B B A B B C C D C B B B D

二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）
16． 且m≠1 17．5 18．
19．6 20．
三、解答题（本题8小题，共70分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
21.（本题满分10分）
（1）（本小题满分4分）
解：原式= ……………………………………………2分
= ……………………………… ………………………3分
=5 ……………… …………………………………………………………4分
（2）（本小题满分6分）
解：解：y1与x2成正比例，y2与x成反比例
　　设y1＝k1x2，y2＝ ，y＝k1x2＋ …………………………………………………2分
把x＝1，y＝3，x＝-1，y＝1分别代入上式得 ……………………3分

　　　 ∴　 … ………………………………………5分
当x＝- ,　y＝2×(- )2＋ ＝ -2＝- ……………………… ………6分
22. （本题满分6分）
(1)（本小题满分4分）
用尺规作出两边的垂直平分线 …………………2分
作出圆 …………………………3分
⊙O即为所求做的花园的位置.（图略） ……………………………4分
（2）（本小题满分2分）
解：∵∠BAC= ,AB=8米,AC=6米, ∴BC=10米
∴ △ABC外接圆的半径为5米 ……………………………………5分
∴小明家圆形花坛的面积为2 平方米 . …………………………… 6分
23.（本题满分6分）
(1)所有可能的结果如有表：
一共有16种结果，每种结果出现的
可能性相同．

…………………………………2分
和为偶数的概率为
所以小莉去上海看世博会的概率为 ………………………………3分
(2)由（1）列表的结果可知：小莉去的概率为 ，哥哥去的概率为 ，所以游戏
不公平，对哥哥有利． …………………………………………4分
游戏规则改为：若和为偶数则小莉得5分，若和为奇数则哥哥得3分，则游戏是
公平的． …………………… ………………………………6分
（游戏规则的修改有多种多样，阅卷老师视情况给分）
24.（本题满分8分）
（1）如图，作AD⊥BC于点D ……………………………………1分
Rt△A BD中，
AD=ABsin45°=4 ……2分

在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°
∴AC=2AD= ≈ ………………………3分
即新传送带AC的长度约为 米． ………………………………………4分
（2）结论：货物MNQP应挪走． ……………………………………5分
解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4 ……………………6分
在Rt△ACD中，CD=AC cos30°=
∴CB=CD—BD= ≈2.1
∵PC=PB—CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7分
∴货物MNQP应挪走． …………………………………………………………8分
25. （本题满分9分）
（1）解：（1）△P1OA1的面积将逐渐减小． …………………………………2分
（2）作P1C⊥OA1，垂足为C，因为△P1O A1为等边三角形，
所以OC=1，P1C= ，所以P1 ． ……………………………………3分
代入 ，得k= ，所以反比例函数的解析式为 ． ……………4分
作P2D⊥A1 A2，垂足为D、设A1D=a，则OD=2+a，P2D= a，
所以P2 ． ……………………………………………………………6分
代入 ，得 ，化简得
解的：a=-1± ……………………………………………7分
∵a＞0 ∴ ………………………………8分
所以点A2的坐标为﹙ ，0﹚ ………………………………………………9分
26. （本题满分10分）
解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠ A ,∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………… ……………………1分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分
∵OC是⊙O的半径 [来源:学科网]
∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分
（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P [来源:学.科.网Z.X.X.K]
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分
∴BC=OC
∴BC= AB ………………………………………………………6分
(3)连接MA,MB
∵点M是弧AB的中点
∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分
∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMC=∠BMN
∴△MBN∽△MCB
∴
∴BM2=MC•MN ……………………8分[来源:学科网]
∵AB是⊙O的直径 ，弧AM=弧BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9分
∴MC•MN=BM2=8 ……………………………………………………10分
27. （本题满分10分）
解：（1）∵AC⊥BD
∴四边形ABCD的面积

………………………………………2分

（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E …………………………………3分[来源:学+科+网]
∵四边形AB CD为平行四边 形

在Rt⊿AOE中，
∴ …………4分
∴ ………………………………5分
∴四边形ABCD的面积 ……………………………………6分
(3）如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F …………7分
在Rt⊿AOE中，
∴

同理可得
………………………………8分[来源:学§科§网Z§X§X§K]

∴四边形ABCD的面积

2 8. （本题满分11分）
解：（1）因抛物线 经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为 …………………………………………1分
由
得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分

（2）① 点P不在直线ME上.
已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，
设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得 ，解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分
由已知条件易得，当 时，OA=AP= ， …………………4分
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.
∴ 当 时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴ OA=AP=t.
∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6分

∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t
…………………………………………………………………………………7分
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点 P，N，C，D为顶点的多边形 是三角形，此三角形的高为AD，∴ S= DC•AD= ×3×2=3.
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S= (CD+PN)•AD= [3+(-t 2+3 t )]×2=-t 2+3 t+3…………………8分
当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分
当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）

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