如题所述
第1个回答 2022-07-01
一、整体与等分的关系
主要是对整体的等分，通常把整体看作1，例如，一块蛋糕等分成4分，其中1份就是1/4，2份就是2/4，3份就是3/4，4份就是4/4，也就是完整的1块蛋糕。在这里特别要注意，通过等分得到分数单位是1/4，而2/4表示的是两个分数单位:2/4=2×1/4=1/4+1/4，依此类推。这时就涉及到分数的比较和运算，这又需要分成两种情况。
①两个分数分母相同
分母相同，也就意味着两个分数的分数单位相同，直接比较两个分数大小即可:3/4＞1/4 (3个1/4一定大于1个1/4)；对于两个分数的加减运算也容易得到:3/4－1/4=2/4(3个分数单位减去1个分数单位等于2个分数单位)。
②两个分数分母不同
既然两个分数分母不同，也就意味着这两个分数的分数单位不同，需要在原有分数单位的基础上进一步等分，使得两个分数能够在相同的分数单位上进行大小比较及加减运算比较。例如，要比较1/2和1/5的大小，就必须对分了2份的蛋糕和分个5份的蛋糕进行再等分。对于分了2份的蛋糕的每份再5等分，对于分了5份的蛋糕的每份再2等分，可参照下图，得到的单位都是原来整体的1/10，，出现新的分数单位，对于1/2，原来的分数单位与新单位的关系是1/2=5/10；对于1/5，原来的分数单位与新单位的关系是1/5=2/10，这样分数单位一致，就可以比较大小:因为5/10＞2/10，所以1/2＞1/5，同样也可以进行两分数的加减运算:1/5+1/2=2/10+5/10=7/10。
由于分数单位1/5转化成新的分数单位1/10，那么对于原来单位的2份就等价于新单位的4分:2/5=2×1/5=2×2/10=4/10。也就论证了分数的性质:分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数大小不变。利用通分的性质就可以解决其他不用分母分数的加减法运算。
简单而言，就是我们课堂上常说的:同分母分数直接加减，异分母分数先通分再加减。(通分的原理在上边已经论述)
二、整比例关系
分数还可以表示两个事物量之间的整数比，或者说，以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量。我们用一道例题来理解:
这里的1/3说的就是比例，要解题关键要理解1/3的含义。
方法一:鹅只数是鸭子只数的1/3(鸭子只数的1/3是鹅的只数)，也就是说1只鹅对应3只鸭，2只鹅对应6只鸭，3只鹅对应9只鸭，4只鹅就对应12只鸭。
方法二:反推法，鹅的只数是鸭子只数的1/3，鸭的1/3是鹅，也就是说鸭子只数是鹅的3倍。画图理解如下图
方法三:设未知数x,这是我们更加喜欢的一般性数学表达:用x表示鸭子的数量，得到鹅与鸭子的数量比例关系4:x=1:3。借助这个比例关系，可以通过两种运算方法得到所求的结果，一种是上边说的乘法(画图更好理解)，另一种是教课书上所希望的除法:鸭子数量=4÷1/3=4×3=12这又涉及到“话题篇”中话题21，我在这里也做简单解释，⑴为什么要用除法?⑵为什么要乘以倒数？
⑴为什么要用除法？
很多人对这个问题感到困惑，主要是困惑在分数上，为什么要除以分数呢？我们可以根据关于除法的讨论，其中强调:对于“a是b的y倍”这样的问题应该用除法，运算形式表示为:a÷b=y。因为在这个运算形式中，除数b与商y是对称的，因此算式可以等价于:a÷y=b。根据后一个算式，可以知道，对于:“已知a是b的y倍，求b是多少”这样的问题也应当用除法。
对于题中说鹅是鸭子数量的1/3，求鸭子的数量，显然用除法解决:鸭子的数量=鹅数量÷1/3，即4÷1/3。
⑵为什么要乘以倒数？
对于4÷1/3=4×3=12这样的法则非常重要，需要记住，但是在教学中也应当让学生多多少少感悟其中的道题，尝试性地解释这个法则。个人认为根据“除法是乘法的逆运算”则可以较好的证明这个法则，具体推算如下图
这样就很好的论证了:除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。
主要是对整体的等分，通常把整体看作1，例如，一块蛋糕等分成4分，其中1份就是1/4，2份就是2/4，3份就是3/4，4份就是4/4，也就是完整的1块蛋糕。在这里特别要注意，通过等分得到分数单位是1/4，而2/4表示的是两个分数单位:2/4=2×1/4=1/4+1/4，依此类推。这时就涉及到分数的比较和运算，这又需要分成两种情况。
①两个分数分母相同
分母相同，也就意味着两个分数的分数单位相同，直接比较两个分数大小即可:3/4＞1/4 (3个1/4一定大于1个1/4)；对于两个分数的加减运算也容易得到:3/4－1/4=2/4(3个分数单位减去1个分数单位等于2个分数单位)。
②两个分数分母不同
既然两个分数分母不同，也就意味着这两个分数的分数单位不同，需要在原有分数单位的基础上进一步等分，使得两个分数能够在相同的分数单位上进行大小比较及加减运算比较。例如，要比较1/2和1/5的大小，就必须对分了2份的蛋糕和分个5份的蛋糕进行再等分。对于分了2份的蛋糕的每份再5等分，对于分了5份的蛋糕的每份再2等分，可参照下图，得到的单位都是原来整体的1/10，，出现新的分数单位，对于1/2，原来的分数单位与新单位的关系是1/2=5/10；对于1/5，原来的分数单位与新单位的关系是1/5=2/10，这样分数单位一致，就可以比较大小:因为5/10＞2/10，所以1/2＞1/5，同样也可以进行两分数的加减运算:1/5+1/2=2/10+5/10=7/10。
由于分数单位1/5转化成新的分数单位1/10，那么对于原来单位的2份就等价于新单位的4分:2/5=2×1/5=2×2/10=4/10。也就论证了分数的性质:分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数大小不变。利用通分的性质就可以解决其他不用分母分数的加减法运算。
简单而言，就是我们课堂上常说的:同分母分数直接加减，异分母分数先通分再加减。(通分的原理在上边已经论述)
二、整比例关系
分数还可以表示两个事物量之间的整数比，或者说，以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量。我们用一道例题来理解:
这里的1/3说的就是比例，要解题关键要理解1/3的含义。
方法一:鹅只数是鸭子只数的1/3(鸭子只数的1/3是鹅的只数)，也就是说1只鹅对应3只鸭，2只鹅对应6只鸭，3只鹅对应9只鸭，4只鹅就对应12只鸭。
方法二:反推法，鹅的只数是鸭子只数的1/3，鸭的1/3是鹅，也就是说鸭子只数是鹅的3倍。画图理解如下图
方法三:设未知数x,这是我们更加喜欢的一般性数学表达:用x表示鸭子的数量，得到鹅与鸭子的数量比例关系4:x=1:3。借助这个比例关系，可以通过两种运算方法得到所求的结果，一种是上边说的乘法(画图更好理解)，另一种是教课书上所希望的除法:鸭子数量=4÷1/3=4×3=12这又涉及到“话题篇”中话题21，我在这里也做简单解释，⑴为什么要用除法?⑵为什么要乘以倒数？
⑴为什么要用除法？
很多人对这个问题感到困惑，主要是困惑在分数上，为什么要除以分数呢？我们可以根据关于除法的讨论，其中强调:对于“a是b的y倍”这样的问题应该用除法，运算形式表示为:a÷b=y。因为在这个运算形式中，除数b与商y是对称的，因此算式可以等价于:a÷y=b。根据后一个算式，可以知道，对于:“已知a是b的y倍，求b是多少”这样的问题也应当用除法。
对于题中说鹅是鸭子数量的1/3，求鸭子的数量，显然用除法解决:鸭子的数量=鹅数量÷1/3，即4÷1/3。
⑵为什么要乘以倒数？
对于4÷1/3=4×3=12这样的法则非常重要，需要记住，但是在教学中也应当让学生多多少少感悟其中的道题，尝试性地解释这个法则。个人认为根据“除法是乘法的逆运算”则可以较好的证明这个法则，具体推算如下图
这样就很好的论证了:除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。
