如题所述
第1个回答 2023-02-14
解析几何、复数、立体几何
知识点整理-------老刘祝大家周末愉快!别忘记好好做周末卷哦!
一、直线和圆
1. 直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;
直线方向向量的意义(a =λ(1,k ) 或λ(0,1)(λ≠0) ) 及其直线方程的向量式
((x -x 0, y -y 0) =λa (a 为直线的方向向量)).
应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时,一般可设直线的斜率为k ,但你是否注意到直线垂直于x 轴时,即斜率k 不存在的情况?
2. 知直线纵截距b ,常设其方程为y =kx +b 或x =0;知直线横截距x 0,常设其方程为x =m y +x 0(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数) 或y =0. 知直线过点(x 0, y 0) ,常设其方程为y =k (x -x 0) +y 0或x =x 0.
注意:
(1)直线方程的几种形式:点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、点方向式、点法向式.以及各种形式的局限性. (如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截矩式呢?) ★ 好用的直线系: 与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为Ax +By +C 1=0; 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为Bx -Ay +C 1=0; 过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为:
A (x -x 0) +B (y -y 0) =0;
过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为:
B (x -x 0) -A (y -y 0) =0.
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点;
直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点; 直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点.
(3)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
3. 相交两直线的夹角:夹角特指相交两直线所成的较小角,范围是(0,],
2夹角公式tan θ=|
k 1-k 21+k 1k 2
|=|
A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2
|,
4.
点到直线的距离公式d =.
特别:l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1(k 1、k 2都存在时) ⇔A 1A 2+B 1B 2=0;
l 1//l 2⇔
=k A B =A B
; (k 、k 都存在时) ⇔{{b k ≠b A C ≠A C
A B =A B k =k
l 、l 重合⇔{(k 、k 都存在时) ⇔{b =b A C =A C 或B C
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
11
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
=B 2C 1
.
5. 圆的方程:最简方程x 2+y 2=R 2; 标准方程(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2;
一般式方程x 2+y 2+D x +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) ; 参数方程
{
x =R cos θ
(θ为参数) ;
y =R sin θ
直径式方程(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1) (y -y 2) =0.
注意:
(1)
在圆的一般式方程中,圆心坐标和半径分别是(-, -), R =22(2)圆的参数方程为“三角换元”提供了样板,常用三角换元有:
x +y =1→x =cos θ, y =sin θ,
x +y =2→x =
2
2
2
2
.
22
θ, y =θ
,
x +y ≤1→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤1) ,
x +y ≤
2→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤
2
2
.
6. 解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路,等价转化求解,重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等) 的作用! ”
(1)过圆x 2+y 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是:xx 0+yy 0=R 2, 过圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是:
(x -a )(x 0-a ) +(y -a )(y 0-a ) =R ,
2
过圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是:
xx 0+yy 0+D (x +x 0) +E (y +y 0) +F =0.
22
如果点P (x 0, y 0) 在圆外,那么上述直线方程表示过点P 两切线上两切点的“切点弦”方程.
如果点P (x 0, y 0) 在圆内,那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于O 1P (O 1为圆心) 的直线方程,|O 1P |⋅d =R 2(d 为圆心O 1到直线的距离).
7. 曲线C 1:f (x , y ) =0与C 2:g (x , y ) =0的交点坐标⇔方程组
{g f ((x x , , y y ) ) ==00的解;
过两圆C 1:f (x , y ) =0、C 2:g (x , y ) =0交点的圆(公共弦) 系为f (x , y ) +λg (x , y ) =0,当且仅当无平方项时,f (x , y ) +λg (x , y ) =0为两圆公共弦所在直线方程.
二、圆锥曲线
1. 椭圆、双曲线、抛物线
2. 圆锥曲线的几何性质:圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、. 重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”,尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点. 注意:等轴双曲线的意义和性质.
3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路,等价转化求解. 特别是:
①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解,当出现一元二次方程时,务必“判别式≥0”,尤其是在应用韦达定理解决问题时,必须先有“判别式≥0”.
②直线与抛物线(相交不一定交于两点) 、双曲线位置关系(相交的四种情况) 的特殊性,应谨慎处理.
③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,常与“弦”相关,“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长) ”问题关键是长度(弦长) 公式
(|AB |=|AB |=
|x 2-x 2|=
|a |
,
|AB |=y 1-y 2|=
|a |
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率”为桥梁转化. (共线)
4. 要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直接法、代入法、参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数
法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等) ,这是解析几何的两类基本问题,也是解析几何的基本出发点.
注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份) 、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
三、复数
1、i 的周期性:
i 4=1,所以,i 4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n n ∈Z )
i
4n
+i
4n +1
+i
4n +2
+i
4n +3
=0(n ∈Z )
2、复数的代数形式:a +b i (a , b ∈R ),a 叫实部,b 叫虚部,实部和虚部都是实数。
C ={a +bi |a , b ∈R }叫做复数集。N Z Q R C.
3、复数相等:a +bi =c +di ⇔a =c 且b=d;a +bi =0⇔a =0且b=0
⎧实数 (b=0)
⎪
4、复数的分类:复数Z =a +bi ⎨⎧一般虚数(b≠0, a ≠0)
⎪虚数 (b≠0) ⎨
⎩纯虚数(b≠0, a =0) ⎩
虚数不能比较大小,只有等与不等。即使是3+i , 6+2i 也没有大小。 5、复数的模:若向量OZ 表示复数z ,则称OZ 的模r 为复数z 的模,
z =|a +bi |=
z 1z 2
z 1z 2
;
积或商的模可利用模的性质(1)z 1⋅ z n =z 1⋅z 2⋅ ⋅z n ,(2)6、复数的几何意义:
=
(z
2
≠0)
7其中x 轴叫做实轴,
y 实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
8、复数代数形式的加减运算
复数z 1与z 2的和:z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数z 1与z 2的差:z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数的加法运算满足交换律和结合律
数加法的几何意义:复数z 1=a +bi ,z 2=c +di (a , b , c , d ∈R );OZ = OZ 1+OZ
2
=(a ,b )+(c ,
d )=(a +c ,b +d ) =(a +c )+(b +d ) i
复数减法的几何意义:复数z 1-z 2的差(a -c )+(b -d ) i Z 2Z 1=OZ 1-OZ 2,两个
复数的差z -z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
= zB -z A . ,z =AB =z 9. 特别地,z -z A 为两点间的距离。 B A B AB
|z -z 1|=|z -z 2|z 对应的点的轨迹是线段Z 1Z 2的垂直平分线;|z -z 0|=r , z对应的点的
轨迹是一个圆;|z -z 1|+|z -z 2|=2a (Z 1Z 2
|z -z 1|-|z -z 2|=2a (Z 1Z 2>2a ), z对应的点的轨迹是双曲线。
z 1-z 2≤z 1±z 2≤z 1+z 2
10、显然有公式:
z 1+z 2
2
+z 1-z 2
2
=2z 1
(
2
+z 2
2
)
11、复数的乘除法运算:
复数的乘法:z 1z 2= (a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
*
实数集R 中正整数指数的运算律, 在复数集C 中仍然成立. 即对z ,z ,z ∈C 及m,n ∈N 有:
123m n m+nm n mn n n n z z =z, (z) =z, (zz ) =zz .
1212复数的除法:
z 1z 2
=(a+bi)÷(c+di)=
a +bi c +di
=
ac +bd c +d
2
2
+
bc -ad c +d
2
2
i (a , b , c , d ∈R ),分母实
数化是常规方法
12、共轭复数:若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复数;特别地,虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数;
z =a +bi , z =a -bi (a , b ∈R ),两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称
。z =|z |=
2
2
z ⋅z =a +b ∈R , z ⋅z =z
1i
22
=z ,z 1±z 2=z 1±z 2, z 1⋅z 2=z 1⋅z 2,
1+i 1-i
⎛z 1⎫z 1
= ⎪z ⎝2⎭z 2
1-i 1+i
=-i
22
13、熟记常用算式:=-i ,(1+i ) =2i ,(1-i ) =-2i ,
=i ,
14、复数的代数式运算技巧:
1+i
2
2
(1)①
(1+i ) =2i
②
(1-i ) =-2i
③1-i
=i
1-i
④1+i
=-i
ω=-
(2)“1”的立方根
12
±
32
i
的性质:
ω+
1=-1
1=ω
①ω=1 ②ω
32
=ω ③1+ω+ω
2
=0 ④
ω
⑤ω
15、实系数一元二次方程的根问题:
(1)当∆=b 2-4ac ≥0时,方程有两个实根 x 1, x 2。
(2)当∆=b 2-4ac
此时有 x 1
2
2
=x 2=x 1x 2=
c a
且x 1, 2=
-b ±
2a
-∆i
。
注意两种题型:(1)x 1-x 2 (2)x 1+x 2
四、直线、平面、简单多面体(后面的一并给你)
1. 计算异面直线所成角
2. 计算直线与平面所成的角 3. 计算二面角的大小主要有: 定义法(先作其平面角后计算大小) 、 公式法(cos θ=
S 影S 原
) 、
向量法(两平面法向量的夹角) 、
等价转换法等等. 二面角平面角的主要作法有:定义法(取点、作垂、构角) 、三垂线法(两垂一连,关键是第一垂(过二面角一个面内一点,作另一个面的垂线)) 、垂面法.
4. 计算空间距离的主要方法有:定义法(先作垂线段后计算) 、等积法、转换法(平行换点、换面) 等.
5. 空间平行垂直关系的证明,主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行,模式是: 线线关系
线面关系
面面关系,请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理
及其逆定理) 的桥梁作用. 注意:书写证明过程需规范.
特别声明:①证明计算过程中,若有“中点”等特殊点线,则常借助于“中位线、重心”等知识转化.
②在证明计算过程中常将运用转化思想,将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等) 中问题,并获得去解决. ③如果根据已知条件,在几何体中有“三条直线两两垂直”,那么往往以此为基础,建立空间直角坐标系,并运用空间向量解决问题.
6. 直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.
如长方体中:对
角线长l =
,棱长总和为4(a +b +c ) ,全(表) 面积为
2
2
2
2
2(ab +bc +ca ) ,(结合(a +b +c ) =a +b +c +2ab +2bc +2ca 可得关于他们的等量
关系,结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式) ,cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2(1); 如三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ⇔顶点在底上射影为底面外心,侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ⇔顶点在底上射影为底面垂心,斜高长相等(侧面与底面所成相等) 且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.
如正四面体和正方体中:
arccos
7. 求几何体体积的常规方法是:公式法、割补法、等积(转换) 法、比例(性质转换) 法等. 注意:补形:三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体 分割:三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .
8. 多面体是由若干个多边形围成的几何体.棱柱和棱锥是特殊的多面体.
正多面体的每个面都是相同边数的正多边形,以每个顶点为其一端都有相同数目的棱,这样的多面体只有五种, 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 关于多面体的概念间有如下关系:
⊃⊃⊃
{多面体} ≠ {简单多面体} ≠ {凸多面体} ≠ {正多面体};
⊃⊃⊃⊃ {凸多面体} ≠ {棱柱} ≠ {直棱柱} ≠ {正棱柱} ≠ {正方体};
⊃⊃ {凸多面体} ≠ {棱锥} ≠ {正棱锥} ≠ {正四面体}.
⊃
欧拉公式(V +F 一E =2) 是简单多面体的重要性质,在运用过程中应重视“各面的边数总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”.“简单多面体各面的内角总和是(V -2) ×3600”.
过一个顶点有n 条棱,每个面是m 边形的一般方法是什么?
看看-----很有趣!如果让你画,你能画出来吗???
10.球是一种常见的简单几何体.球的位置由球心确定,球的大小仅取决于半径的大小.球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点.球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合.球的截面是圆面,其中过球心的截面叫做大圆面.球面上两点间的距离,是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长,计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件,先寻求球面上两点间的弦长”,因为此弦长既是球面上两点间的弦长,又是大圆上两点间的弦长.注:“经度是‘小小半径所成角’,纬度是‘大小半径的夹角’”.
球体积公式V =
43
πR ,球表面积公式S =4πR ,是两个关于球的几何度量公式.它们
32
都是球半径及的函数.解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”;球与多面体相切或相接时,组合体的特殊关联关系).
知识点整理-------老刘祝大家周末愉快!别忘记好好做周末卷哦!
一、直线和圆
1. 直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;
直线方向向量的意义(a =λ(1,k ) 或λ(0,1)(λ≠0) ) 及其直线方程的向量式
((x -x 0, y -y 0) =λa (a 为直线的方向向量)).
应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时,一般可设直线的斜率为k ,但你是否注意到直线垂直于x 轴时,即斜率k 不存在的情况?
2. 知直线纵截距b ,常设其方程为y =kx +b 或x =0;知直线横截距x 0,常设其方程为x =m y +x 0(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数) 或y =0. 知直线过点(x 0, y 0) ,常设其方程为y =k (x -x 0) +y 0或x =x 0.
注意:
(1)直线方程的几种形式:点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、点方向式、点法向式.以及各种形式的局限性. (如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截矩式呢?) ★ 好用的直线系: 与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为Ax +By +C 1=0; 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为Bx -Ay +C 1=0; 过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0平行的直线可表示为:
A (x -x 0) +B (y -y 0) =0;
过点P (x 0, y 0) 与直线l :Ax +By +C =0垂直的直线可表示为:
B (x -x 0) -A (y -y 0) =0.
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点;
直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点; 直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点.
(3)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
3. 相交两直线的夹角:夹角特指相交两直线所成的较小角,范围是(0,],
2夹角公式tan θ=|
k 1-k 21+k 1k 2
|=|
A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2
|,
4.
点到直线的距离公式d =.
特别:l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1(k 1、k 2都存在时) ⇔A 1A 2+B 1B 2=0;
l 1//l 2⇔
=k A B =A B
; (k 、k 都存在时) ⇔{{b k ≠b A C ≠A C
A B =A B k =k
l 、l 重合⇔{(k 、k 都存在时) ⇔{b =b A C =A C 或B C
1
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=B 2C 1
.
5. 圆的方程:最简方程x 2+y 2=R 2; 标准方程(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2;
一般式方程x 2+y 2+D x +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) ; 参数方程
{
x =R cos θ
(θ为参数) ;
y =R sin θ
直径式方程(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1) (y -y 2) =0.
注意:
(1)
在圆的一般式方程中,圆心坐标和半径分别是(-, -), R =22(2)圆的参数方程为“三角换元”提供了样板,常用三角换元有:
x +y =1→x =cos θ, y =sin θ,
x +y =2→x =
2
2
2
2
.
22
θ, y =θ
,
x +y ≤1→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤1) ,
x +y ≤
2→x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤
2
2
.
6. 解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路,等价转化求解,重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等) 的作用! ”
(1)过圆x 2+y 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是:xx 0+yy 0=R 2, 过圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=R 2上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是:
(x -a )(x 0-a ) +(y -a )(y 0-a ) =R ,
2
过圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 上一点P (x 0, y 0) 圆的切线方程是:
xx 0+yy 0+D (x +x 0) +E (y +y 0) +F =0.
22
如果点P (x 0, y 0) 在圆外,那么上述直线方程表示过点P 两切线上两切点的“切点弦”方程.
如果点P (x 0, y 0) 在圆内,那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于O 1P (O 1为圆心) 的直线方程,|O 1P |⋅d =R 2(d 为圆心O 1到直线的距离).
7. 曲线C 1:f (x , y ) =0与C 2:g (x , y ) =0的交点坐标⇔方程组
{g f ((x x , , y y ) ) ==00的解;
过两圆C 1:f (x , y ) =0、C 2:g (x , y ) =0交点的圆(公共弦) 系为f (x , y ) +λg (x , y ) =0,当且仅当无平方项时,f (x , y ) +λg (x , y ) =0为两圆公共弦所在直线方程.
二、圆锥曲线
1. 椭圆、双曲线、抛物线
2. 圆锥曲线的几何性质:圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、. 重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”,尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点. 注意:等轴双曲线的意义和性质.
3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路,等价转化求解. 特别是:
①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解,当出现一元二次方程时,务必“判别式≥0”,尤其是在应用韦达定理解决问题时,必须先有“判别式≥0”.
②直线与抛物线(相交不一定交于两点) 、双曲线位置关系(相交的四种情况) 的特殊性,应谨慎处理.
③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,常与“弦”相关,“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长) ”问题关键是长度(弦长) 公式
(|AB |=|AB |=
|x 2-x 2|=
|a |
,
|AB |=y 1-y 2|=
|a |
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率”为桥梁转化. (共线)
4. 要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直接法、代入法、参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数
法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等) ,这是解析几何的两类基本问题,也是解析几何的基本出发点.
注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份) 、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
三、复数
1、i 的周期性:
i 4=1,所以,i 4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n n ∈Z )
i
4n
+i
4n +1
+i
4n +2
+i
4n +3
=0(n ∈Z )
2、复数的代数形式:a +b i (a , b ∈R ),a 叫实部,b 叫虚部,实部和虚部都是实数。
C ={a +bi |a , b ∈R }叫做复数集。N Z Q R C.
3、复数相等:a +bi =c +di ⇔a =c 且b=d;a +bi =0⇔a =0且b=0
⎧实数 (b=0)
⎪
4、复数的分类:复数Z =a +bi ⎨⎧一般虚数(b≠0, a ≠0)
⎪虚数 (b≠0) ⎨
⎩纯虚数(b≠0, a =0) ⎩
虚数不能比较大小,只有等与不等。即使是3+i , 6+2i 也没有大小。 5、复数的模:若向量OZ 表示复数z ,则称OZ 的模r 为复数z 的模,
z =|a +bi |=
z 1z 2
z 1z 2
;
积或商的模可利用模的性质(1)z 1⋅ z n =z 1⋅z 2⋅ ⋅z n ,(2)6、复数的几何意义:
=
(z
2
≠0)
7其中x 轴叫做实轴,
y 实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
8、复数代数形式的加减运算
复数z 1与z 2的和:z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数z 1与z 2的差:z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数的加法运算满足交换律和结合律
数加法的几何意义:复数z 1=a +bi ,z 2=c +di (a , b , c , d ∈R );OZ = OZ 1+OZ
2
=(a ,b )+(c ,
d )=(a +c ,b +d ) =(a +c )+(b +d ) i
复数减法的几何意义:复数z 1-z 2的差(a -c )+(b -d ) i Z 2Z 1=OZ 1-OZ 2,两个
复数的差z -z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
= zB -z A . ,z =AB =z 9. 特别地,z -z A 为两点间的距离。 B A B AB
|z -z 1|=|z -z 2|z 对应的点的轨迹是线段Z 1Z 2的垂直平分线;|z -z 0|=r , z对应的点的
轨迹是一个圆;|z -z 1|+|z -z 2|=2a (Z 1Z 2
|z -z 1|-|z -z 2|=2a (Z 1Z 2>2a ), z对应的点的轨迹是双曲线。
z 1-z 2≤z 1±z 2≤z 1+z 2
10、显然有公式:
z 1+z 2
2
+z 1-z 2
2
=2z 1
(
2
+z 2
2
)
11、复数的乘除法运算:
复数的乘法:z 1z 2= (a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad ) i . (a , b , c , d ∈R ) 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
*
实数集R 中正整数指数的运算律, 在复数集C 中仍然成立. 即对z ,z ,z ∈C 及m,n ∈N 有:
123m n m+nm n mn n n n z z =z, (z) =z, (zz ) =zz .
1212复数的除法:
z 1z 2
=(a+bi)÷(c+di)=
a +bi c +di
=
ac +bd c +d
2
2
+
bc -ad c +d
2
2
i (a , b , c , d ∈R ),分母实
数化是常规方法
12、共轭复数:若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复数;特别地,虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数;
z =a +bi , z =a -bi (a , b ∈R ),两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称
。z =|z |=
2
2
z ⋅z =a +b ∈R , z ⋅z =z
1i
22
=z ,z 1±z 2=z 1±z 2, z 1⋅z 2=z 1⋅z 2,
1+i 1-i
⎛z 1⎫z 1
= ⎪z ⎝2⎭z 2
1-i 1+i
=-i
22
13、熟记常用算式:=-i ,(1+i ) =2i ,(1-i ) =-2i ,
=i ,
14、复数的代数式运算技巧:
1+i
2
2
(1)①
(1+i ) =2i
②
(1-i ) =-2i
③1-i
=i
1-i
④1+i
=-i
ω=-
(2)“1”的立方根
12
±
32
i
的性质:
ω+
1=-1
1=ω
①ω=1 ②ω
32
=ω ③1+ω+ω
2
=0 ④
ω
⑤ω
15、实系数一元二次方程的根问题:
(1)当∆=b 2-4ac ≥0时,方程有两个实根 x 1, x 2。
(2)当∆=b 2-4ac
此时有 x 1
2
2
=x 2=x 1x 2=
c a
且x 1, 2=
-b ±
2a
-∆i
。
注意两种题型:(1)x 1-x 2 (2)x 1+x 2
四、直线、平面、简单多面体(后面的一并给你)
1. 计算异面直线所成角
2. 计算直线与平面所成的角 3. 计算二面角的大小主要有: 定义法(先作其平面角后计算大小) 、 公式法(cos θ=
S 影S 原
) 、
向量法(两平面法向量的夹角) 、
等价转换法等等. 二面角平面角的主要作法有:定义法(取点、作垂、构角) 、三垂线法(两垂一连,关键是第一垂(过二面角一个面内一点,作另一个面的垂线)) 、垂面法.
4. 计算空间距离的主要方法有:定义法(先作垂线段后计算) 、等积法、转换法(平行换点、换面) 等.
5. 空间平行垂直关系的证明,主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行,模式是: 线线关系
线面关系
面面关系,请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理
及其逆定理) 的桥梁作用. 注意:书写证明过程需规范.
特别声明:①证明计算过程中,若有“中点”等特殊点线,则常借助于“中位线、重心”等知识转化.
②在证明计算过程中常将运用转化思想,将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等) 中问题,并获得去解决. ③如果根据已知条件,在几何体中有“三条直线两两垂直”,那么往往以此为基础,建立空间直角坐标系,并运用空间向量解决问题.
6. 直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.
如长方体中:对
角线长l =
,棱长总和为4(a +b +c ) ,全(表) 面积为
2
2
2
2
2(ab +bc +ca ) ,(结合(a +b +c ) =a +b +c +2ab +2bc +2ca 可得关于他们的等量
关系,结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式) ,cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2(1); 如三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ⇔顶点在底上射影为底面外心,侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ⇔顶点在底上射影为底面垂心,斜高长相等(侧面与底面所成相等) 且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.
如正四面体和正方体中:
arccos
7. 求几何体体积的常规方法是:公式法、割补法、等积(转换) 法、比例(性质转换) 法等. 注意:补形:三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体 分割:三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .
8. 多面体是由若干个多边形围成的几何体.棱柱和棱锥是特殊的多面体.
正多面体的每个面都是相同边数的正多边形,以每个顶点为其一端都有相同数目的棱,这样的多面体只有五种, 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 关于多面体的概念间有如下关系:
⊃⊃⊃
{多面体} ≠ {简单多面体} ≠ {凸多面体} ≠ {正多面体};
⊃⊃⊃⊃ {凸多面体} ≠ {棱柱} ≠ {直棱柱} ≠ {正棱柱} ≠ {正方体};
⊃⊃ {凸多面体} ≠ {棱锥} ≠ {正棱锥} ≠ {正四面体}.
⊃
欧拉公式(V +F 一E =2) 是简单多面体的重要性质,在运用过程中应重视“各面的边数总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”.“简单多面体各面的内角总和是(V -2) ×3600”.
过一个顶点有n 条棱,每个面是m 边形的一般方法是什么?
看看-----很有趣!如果让你画,你能画出来吗???
10.球是一种常见的简单几何体.球的位置由球心确定,球的大小仅取决于半径的大小.球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点.球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合.球的截面是圆面,其中过球心的截面叫做大圆面.球面上两点间的距离,是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长,计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件,先寻求球面上两点间的弦长”,因为此弦长既是球面上两点间的弦长,又是大圆上两点间的弦长.注:“经度是‘小小半径所成角’,纬度是‘大小半径的夹角’”.
球体积公式V =
43
πR ,球表面积公式S =4πR ,是两个关于球的几何度量公式.它们
32
都是球半径及的函数.解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”;球与多面体相切或相接时,组合体的特殊关联关系).