如题所述
折叠有理数的认识
有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数,反之,每一个十进制循环小数也能化为整数或分数,因此,有理数也可以定义为十进制循环小数。
有理数集是整数集的扩张。在有理数集内,加法、减法、乘法、除法(除数不能为零)4种运算通行无阻。
有理数的大小顺序的规定:如果a-b是正有理数,当a大于b或b小于a,记作a>b或b<a。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。
有理数集与整数集的一个重要区别是,有理数集是密集的,而整数集不是稠密的。将有理数依大小顺序排定后,任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数,这就是稠密性。整数集没有这一特性,两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。
有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密)子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。
基本运算
减法运算
减去一个数,等于加上这个数的相反数(符号不同,符号相同的两个数互为相反数,其中一个数叫做另一个数的相反数)。
除法运算
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
注意:零除以任意一个不等于零的数,都得零。
零不能做除数和分母。
有理数的除法与乘法是互逆运算。
在做除法运算时,根据同号得正,异号得负的法则先确定符号,再把绝对值相除。若在算式中带有带分数,一般先化成假分数进行计算。若不能整除,则除法运算都转化为乘法运算。
乘法运算
(1)负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。例如:(-2)的3次方= -8,(-2)的2次方=4。
(2)正数的任何次幂都是正数,零的任何正数次幂都是零。例如:2的2次方=4,2的3次方=8,0的3次方=0。
(3)零的零次幂无意义。
(4)由于乘方是乘法的特例,因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
(5)任何非0数的0次方都是1。
(6)一个数的负数次方=此数正数次方的倒数。如:5的-2次方=1/25
有理数运算定律
加法运算律:
(1)加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a。
(2)加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两个数相加,和不变,
即a+b+c=a+(b+c)。
减法运算律:
(1)减法运算律:减去一个数,等于加上这个数的相反数。即:a-b=a+(-b)。
(2)减法结合律:三个数连减,可以先将两个减的数相加,然后再减,差不变,
即:a-b-c=a-(b+c)。
(3)减法交换律:三个数连减,可以调换两个减数的位置,差不变,即:a-b-c
=a-c-b
乘法运算律:
(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变,即ab=ba。
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数先乘,或者先把后两个相乘,积不变,即abc=a(bc)。
(3)乘法分配律:某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加,
即a(b+c)=ab+ac。
混合运算
有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如果是同级运算,则按照从左到右的顺序依次计算,如果有括号则先计算括号内的。