包括解析、答案
第1个回答 2007-10-17
第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛
初一 第2试
2006年4月16日 上午8:30至10:30 得分_________
一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.
1.a和b是满足ab≠0的有理数,现有四个命题:
① 的相反数是 ;
②a-b的相反数是a的相反数与b的相反数的差;
③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积;
④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积.
其中真命题有( )
(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.
[答案] C
[分析] ③中ab的相反数是-ab,而a的相反数是-a, b的相反数是-a,它们乘积的相反数是ab。
[考点] 本题考察的是相反数定义与倒数定义的灵活运用。
2.在下面的图形中,不是正方体的平面展开图的是( )
[答案]C
[分析] 将题目中的展开图形还原,只有答案B不能还原成正方体。
[考点] 本题考察的正方体展开图形的特点。
3.在代数式 中,x与y的值各减少25%,则该代数式的值减少了( )
(A)50%. (B)75% (C) (D) .
[答案] C
[分析]设减少后所求的代数式为m,则有m= = 。
[考点] 本题考察的是整式乘法的运算及灵活运用。
4.若a<b<0<c<d,则以下四个结论中,正确的是( )
(A)a+b+c+d一定是正数. (B)d+c-a-b可能是负数.
(C)d-c-b-a一定是正数. (D)c-d-b-a一定是正数.
[答案]C
[分析]本题应用特值排除法,对于A,如果设a=-2,b=-1,c=1,d=2,则a+b+c+d=0非正数;对于B,d+c>0,-a >-b>0,所以d+c-a-b一定大于零;对于D,设a=-2,b=-1,c=1,d=5,则c-d-b-a=-1。
[考点]有理数的运算。
5.在图1中,DA=DB=DC,则x的值是( )
(A)10. (B)20. (C)30. (D)40.
[答案] A
[分析]根据三角形内角和为 ,求得x=
[考点] 考察三角形角的计算。
6.已知a,b,c都是整数,m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么( )
(A)m一定是奇数. (B)m一定是偶数.
(C)仅当a,b,c同奇或同偶时,m是偶数. (D)m的奇偶性不能确定.
[答案] B
[分析] 利用特殊值法,设出具体数,代入代数式即可排出A、C、D选项。
[考点] 有理数的运算。
7.三角形三边的长a,b,c都是整数,且[a,b,c]=60,(a,b)=4,(b,c)=3.(注:[a,b,c]表示a,b,c的最小公倍数,(a,b)表示a,b的最大公约数),则a+b+c的最小值是( )
(A)30. (B)31. (C)32. (D)33.
[答案] B
[分析]由最小公倍数入手,由题意可知三个数中肯定有15和4,再根据最大公约数分别是4和3,以及其他已知条件,进一步推知
[考点] 最大公约与最小公倍及三角形边的问题。
8.如图2,矩形ABCD由3×4个小正方形组成.此图中,不是正方形的矩形有( )
(A)40个. (B)38个. (C)36个. (D)34个.
[答案] A
[分析] 本题可以从两方面考虑,一是从正面考虑,分别数出一格、两格、三格为边的矩形数的个数,再求和即可;二是从反面考虑,先求出正方形和矩形数总数,再求出正方形数,总数-正方形数=矩形数。
[考点] 考查对图形的认识 。
9.设a是有理数,用[a]表示不超过a的最大整数,如[1.7]=1,[-1]=-1,[0]=0,[-1.2]
=-2,则在以下四个结论中,正确的是( )
[答案] D。
[分析]利用特殊值法,设a=0,则 ;设a=-1.2,则有
[考点] 有理数的灵活运用。
10.On the number axis,there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively,and the distance between A and B is less than 10.Let m=5-2b。then the range of the value of m is( )
(英汉词典:number axis数轴;point点;corresponding to对应于…;respectively分别地;distance距离;1ess than小于;value值、数值;range范围)
[答案] C
[分析]先根据题意列出不等式组 ,由此解出b的范围为 ,再根据m=5-2b,得出m与b的关系: ,即 ,解不等式得出m的取值范围。
[考点] 一元一次不等式、不定式组解法 的灵活运用 。
二、填空题(每小题4分,共40分.)
[答案]
[分析] 将原是化成 = = =
[考点] 本题考察分式的简便算法。
[答案] -3
[分析]由已知可得 ,原式= = ,再进一步变形。
[考点] 本题考查了整式的运算。
13.图3是一个小区的街道图,A、B、C、…、X、Y、Z是道路交叉的17个路口,站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道.现要使岗哨们能看到小区的所有街道,那么,最少要设______个岗哨.
[答案] 4
[分析] 找到符合题干条件的点,而且是符合要求的最少的。
[考点] 本题考察对图形的识别与理解。
[答案] -36
[分析]由题意可知, ,原式= = =-36
[考点] 本题考察了立方差公式的灵活运用。
=_________.
[答案]4026042
[分析]分别对原式的分子和分母进行运算,分子为2007 ,分母为 ,即原式为2006 。
[考点]考察了分式运算中的简便运算思想。
16.乒乓球比赛结束后,将若干个乒乓球发给优胜者.取其中的一半加半个发给第一名;取余下的一半加半个发给第二名;又取余下的一半加半个发给第三名;再取余下的一半加半个发给第四名;最后取余下的一半加半个发给第五名,乒乓球正好全部发完.这些乒乓球共有 ______个.
[答案] 31
[分析]解决本题的关键是分别表示出给每名优胜者的乒乓球数量,并找到一般规律。
[详解]解:设乒乓球共有x个,由题意得给第一名的球数量为: ;第二名: ;第三名:
以此类推,第五名: .,所以有: ,解得 31。
17.有甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29,23,21和17岁,则这四人中最大年龄与最小年龄的差是_____岁.
[答案] 18
[分析]设出四个人的年龄,根据题意,分别表示出三个人的平均年龄与另外一个人年龄的和。
[详解]设四个人的年龄分别是 ,根据题意有 ,再将四个算式两两作差得: , , , 。
所以最大年龄与最小年龄的差是18。
18.初一(2)班的同学站成一排,他们先自左向右从“1”开始报数,然后又自右向左从“1”开始报数,结果发现两次报数时,报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人,则全班同学共有______人.
[答案] 53或25
[分析]本题是发散性题目,应该分两种情况考虑。
[详解]解:设全班一共有x个人,根据题意可知由两种情况:一、从右向左报数时,报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在的位置,则有: ;二、从右向左报数时,报20的同学超过第一遍报数为20的同学所在的位置,则有 。
的末位数字是___________.
[答案] 0
[分析] 将原式变形,充分运用特值法。
[详解] 原式= ,令 ,原式= ,因为2的乘方末位分别是2、4、8、6四个数的循环,所以 的末位数是8,所以原式的末位是0。
20.Assume that a,b,c,d are all integers,and four equations(a-2b)x=1,(b-3c)y=1,
(c-4d)z=1,w+100=d have always solutions x,y,z,w of positive numbers respectively,then the minimum of a is_____________.
(英汉词典:to assume假设;integer整数;equation方程;solution(方程的)解;positive正的;respectively分别地;minimum最小值)
[答案]2433
[考点]本题考察了不定方程的讨论思想。
三、解答题(本大题共3小题,共40分.) 要求:写出推算过程.
21.(本小题满分10分)
(1)证明:奇数的平方被8除余1.
(2)请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.
(1)[分析] 设出奇数的一般式.
证明:设任意的奇数为 ,则根据题意可得 = = ,
连续两个整数相乘肯定是偶数,因此4k(k+1)能被8整除,
所以得证。
(2)假设2006可以表示为10个奇数的平方之和,也就是
(其中 , , ,…, 都是奇数).
等式左边被8除余2,而2006被8除余6.矛盾!
因此,2006不能表示为10个奇数的平方之和.
22.(本小题满分15分)
如图4所示,三角形ABC的面积为1,E是AC的中点,O是BE的中点.连结AO,并延长交BC于D,连结CO并延长交AB于F.求四边形BDOF的面积.
设
因为 E是AC的中点,0是BE的中点,
所以
则
由 得
即
又
由 得
即 所以
23.(本小题满分15分)
老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观.老师乘一辆摩托车,速度为25千米/小时.这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人后速度为20千米/小时.学生步行的速度为5千米/小时.请你设计一种方案,使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时.
[分析] 解本题的关键是,分析出老师带一名学生走到一定的位置后返回去接另一名学生。并理清各时间段所走的路程。
[详解]解:设老师带一名学生走了x米后,放下这名学生返回接另一名学生,则根据提意有全程分了三个时间段, 老师带第一个学生走的时间, 老师返回接第二个学生的时间, 老师带第二个学生到达博物馆的时间, , , ,
解得 =24,所以老师带着一个学生走出24米的时候,再回去带另一个学生,可以保证三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时。
初一 第2试
2006年4月16日 上午8:30至10:30 得分_________
一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.
1.a和b是满足ab≠0的有理数,现有四个命题:
① 的相反数是 ;
②a-b的相反数是a的相反数与b的相反数的差;
③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积;
④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积.
其中真命题有( )
(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.
[答案] C
[分析] ③中ab的相反数是-ab,而a的相反数是-a, b的相反数是-a,它们乘积的相反数是ab。
[考点] 本题考察的是相反数定义与倒数定义的灵活运用。
2.在下面的图形中,不是正方体的平面展开图的是( )
[答案]C
[分析] 将题目中的展开图形还原,只有答案B不能还原成正方体。
[考点] 本题考察的正方体展开图形的特点。
3.在代数式 中,x与y的值各减少25%,则该代数式的值减少了( )
(A)50%. (B)75% (C) (D) .
[答案] C
[分析]设减少后所求的代数式为m,则有m= = 。
[考点] 本题考察的是整式乘法的运算及灵活运用。
4.若a<b<0<c<d,则以下四个结论中,正确的是( )
(A)a+b+c+d一定是正数. (B)d+c-a-b可能是负数.
(C)d-c-b-a一定是正数. (D)c-d-b-a一定是正数.
[答案]C
[分析]本题应用特值排除法,对于A,如果设a=-2,b=-1,c=1,d=2,则a+b+c+d=0非正数;对于B,d+c>0,-a >-b>0,所以d+c-a-b一定大于零;对于D,设a=-2,b=-1,c=1,d=5,则c-d-b-a=-1。
[考点]有理数的运算。
5.在图1中,DA=DB=DC,则x的值是( )
(A)10. (B)20. (C)30. (D)40.
[答案] A
[分析]根据三角形内角和为 ,求得x=
[考点] 考察三角形角的计算。
6.已知a,b,c都是整数,m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么( )
(A)m一定是奇数. (B)m一定是偶数.
(C)仅当a,b,c同奇或同偶时,m是偶数. (D)m的奇偶性不能确定.
[答案] B
[分析] 利用特殊值法,设出具体数,代入代数式即可排出A、C、D选项。
[考点] 有理数的运算。
7.三角形三边的长a,b,c都是整数,且[a,b,c]=60,(a,b)=4,(b,c)=3.(注:[a,b,c]表示a,b,c的最小公倍数,(a,b)表示a,b的最大公约数),则a+b+c的最小值是( )
(A)30. (B)31. (C)32. (D)33.
[答案] B
[分析]由最小公倍数入手,由题意可知三个数中肯定有15和4,再根据最大公约数分别是4和3,以及其他已知条件,进一步推知
[考点] 最大公约与最小公倍及三角形边的问题。
8.如图2,矩形ABCD由3×4个小正方形组成.此图中,不是正方形的矩形有( )
(A)40个. (B)38个. (C)36个. (D)34个.
[答案] A
[分析] 本题可以从两方面考虑,一是从正面考虑,分别数出一格、两格、三格为边的矩形数的个数,再求和即可;二是从反面考虑,先求出正方形和矩形数总数,再求出正方形数,总数-正方形数=矩形数。
[考点] 考查对图形的认识 。
9.设a是有理数,用[a]表示不超过a的最大整数,如[1.7]=1,[-1]=-1,[0]=0,[-1.2]
=-2,则在以下四个结论中,正确的是( )
[答案] D。
[分析]利用特殊值法,设a=0,则 ;设a=-1.2,则有
[考点] 有理数的灵活运用。
10.On the number axis,there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively,and the distance between A and B is less than 10.Let m=5-2b。then the range of the value of m is( )
(英汉词典:number axis数轴;point点;corresponding to对应于…;respectively分别地;distance距离;1ess than小于;value值、数值;range范围)
[答案] C
[分析]先根据题意列出不等式组 ,由此解出b的范围为 ,再根据m=5-2b,得出m与b的关系: ,即 ,解不等式得出m的取值范围。
[考点] 一元一次不等式、不定式组解法 的灵活运用 。
二、填空题(每小题4分,共40分.)
[答案]
[分析] 将原是化成 = = =
[考点] 本题考察分式的简便算法。
[答案] -3
[分析]由已知可得 ,原式= = ,再进一步变形。
[考点] 本题考查了整式的运算。
13.图3是一个小区的街道图,A、B、C、…、X、Y、Z是道路交叉的17个路口,站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道.现要使岗哨们能看到小区的所有街道,那么,最少要设______个岗哨.
[答案] 4
[分析] 找到符合题干条件的点,而且是符合要求的最少的。
[考点] 本题考察对图形的识别与理解。
[答案] -36
[分析]由题意可知, ,原式= = =-36
[考点] 本题考察了立方差公式的灵活运用。
=_________.
[答案]4026042
[分析]分别对原式的分子和分母进行运算,分子为2007 ,分母为 ,即原式为2006 。
[考点]考察了分式运算中的简便运算思想。
16.乒乓球比赛结束后,将若干个乒乓球发给优胜者.取其中的一半加半个发给第一名;取余下的一半加半个发给第二名;又取余下的一半加半个发给第三名;再取余下的一半加半个发给第四名;最后取余下的一半加半个发给第五名,乒乓球正好全部发完.这些乒乓球共有 ______个.
[答案] 31
[分析]解决本题的关键是分别表示出给每名优胜者的乒乓球数量,并找到一般规律。
[详解]解:设乒乓球共有x个,由题意得给第一名的球数量为: ;第二名: ;第三名:
以此类推,第五名: .,所以有: ,解得 31。
17.有甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29,23,21和17岁,则这四人中最大年龄与最小年龄的差是_____岁.
[答案] 18
[分析]设出四个人的年龄,根据题意,分别表示出三个人的平均年龄与另外一个人年龄的和。
[详解]设四个人的年龄分别是 ,根据题意有 ,再将四个算式两两作差得: , , , 。
所以最大年龄与最小年龄的差是18。
18.初一(2)班的同学站成一排,他们先自左向右从“1”开始报数,然后又自右向左从“1”开始报数,结果发现两次报数时,报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人,则全班同学共有______人.
[答案] 53或25
[分析]本题是发散性题目,应该分两种情况考虑。
[详解]解:设全班一共有x个人,根据题意可知由两种情况:一、从右向左报数时,报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在的位置,则有: ;二、从右向左报数时,报20的同学超过第一遍报数为20的同学所在的位置,则有 。
的末位数字是___________.
[答案] 0
[分析] 将原式变形,充分运用特值法。
[详解] 原式= ,令 ,原式= ,因为2的乘方末位分别是2、4、8、6四个数的循环,所以 的末位数是8,所以原式的末位是0。
20.Assume that a,b,c,d are all integers,and four equations(a-2b)x=1,(b-3c)y=1,
(c-4d)z=1,w+100=d have always solutions x,y,z,w of positive numbers respectively,then the minimum of a is_____________.
(英汉词典:to assume假设;integer整数;equation方程;solution(方程的)解;positive正的;respectively分别地;minimum最小值)
[答案]2433
[考点]本题考察了不定方程的讨论思想。
三、解答题(本大题共3小题,共40分.) 要求:写出推算过程.
21.(本小题满分10分)
(1)证明:奇数的平方被8除余1.
(2)请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.
(1)[分析] 设出奇数的一般式.
证明:设任意的奇数为 ,则根据题意可得 = = ,
连续两个整数相乘肯定是偶数,因此4k(k+1)能被8整除,
所以得证。
(2)假设2006可以表示为10个奇数的平方之和,也就是
(其中 , , ,…, 都是奇数).
等式左边被8除余2,而2006被8除余6.矛盾!
因此,2006不能表示为10个奇数的平方之和.
22.(本小题满分15分)
如图4所示,三角形ABC的面积为1,E是AC的中点,O是BE的中点.连结AO,并延长交BC于D,连结CO并延长交AB于F.求四边形BDOF的面积.
设
因为 E是AC的中点,0是BE的中点,
所以
则
由 得
即
又
由 得
即 所以
23.(本小题满分15分)
老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观.老师乘一辆摩托车,速度为25千米/小时.这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人后速度为20千米/小时.学生步行的速度为5千米/小时.请你设计一种方案,使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时.
[分析] 解本题的关键是,分析出老师带一名学生走到一定的位置后返回去接另一名学生。并理清各时间段所走的路程。
[详解]解:设老师带一名学生走了x米后,放下这名学生返回接另一名学生,则根据提意有全程分了三个时间段, 老师带第一个学生走的时间, 老师返回接第二个学生的时间, 老师带第二个学生到达博物馆的时间, , , ,
解得 =24,所以老师带着一个学生走出24米的时候,再回去带另一个学生,可以保证三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时。