三角函数的定积分，当积分区域为0到π时，如何用华里士公式求解？(如果用变量替换换区间再用奇偶性的话

三角函数的定积分，当积分区域为0到π时，如何用华里士公式求解？(如果用变量替换换区间再用奇偶性的话？三角函数的定积分，当积分区域为0到π时，如何用华里士公式求解？(如果用变量替换换区间再用奇偶性的话太慢了)...

华莱士在解决这个方面确实是个神器，只研究0到π/2说不过去，上图为证！~~

0到pi不可以用华里士公式，只能凑微分计算
一楼的是错的，大家不要被误导如图所示，这是由对称性决定的
f(x)=[sin(x)]^4的周期是π，对称轴是x=kπ/2（k为整数）。由对称性、定积分的几何性质知原式成立
(sinx)^2=(1-cos2x)/2，因此(sinx)^2的周期与cos2x相同，等于π
(sinx)^4=[(sinx)^2]^2=[(1-cos2x)/2]^2=(1-cos2x)^2/4=[1-2cos2x+(cos2x)^2]/4=[1-2cos2x+(1+cos4x)/2]/4，(sinx)^4的周期是cos2x的周期（等于π）和cos4x的周期（等于π/2）的最小公倍数，故(sinx)^4的周期是π
以此类推，(sinx)^(2k)=a + b*cos2x + c*cos4x + d*cos6x + ...（k=1,2,3...），周期是π、π/2、π/3……的最小公倍数，即(sinx)^(2k)的周期是π
而(sinx)^(2k)的对称轴是x=kπ/2（k为整数），即在[0,π]内的图形关于x=π/2对称，故有∫(0→π/2)(sinx)^(2k)dx=∫(π/2→π)(sinx)^(2k)dx=(1/2)∫(0→π)(sinx)^(2k)dx
由此推出∫(0→2π)(sinx)^4*dx=2∫(0→π)(sinx)^4*dx=2*2∫(0→π/2)(sinx)^4*dx=4∫(0→π/2)(sinx)^4*dx
推荐于 2019-02-25
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