如题所述
1、唐·吉诃德悖论
小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家,它有一条奇怪的法律,每个旅游者都要回答一个问题:“你来这里做什么?”回答对了,一切都好办;回答错了,就要被绞死。
一天,有个旅游者回答:“我来这里是要被绞死。”
旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久:他回答得是对还是错?究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对,那就不要绞死他,可这样一来,他的回答又成了错的了!如果说他回答错了,那就要绞死他,但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难!
2、梵学者的预言
一天,梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。
苏椰:你是一个大骗子,爸爸。你根本不能预言未来。
学者:我肯定能。
苏椰:不,你不能。我现在就可以证明它!
苏椰在一张纸上写了一些字,折起来,压在水晶球下。她说:
“我写了一件事,它在3点钟前可能发生,也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生,在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。要是你写错了,你答应现在就买辆汽车给我,不要拖到以后好吗?”
“好,一言为定。”学者在卡片上写了一个字。
3点钟时,苏椰把水晶球下面的纸拿出来,高声读道:“在下午3点以前,你将写一个‘不’字在卡片上。”
学者在卡片上写的是“是”字,他预言错了:“在下午3点以前,写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写的是“不”呢?也还错!因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生,但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。
苏椰笑了:“我想要一辆红色的赛车,爸爸,要带斗形座的。”
3、意想不到的老虎
公主要和迈克结婚,国王提出一个条件:
“我亲爱的,如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎,你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门,从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎,只有开了那扇门才知道。这只老虎的出现将是料想不到的。”
迈克看着这些门,对自己说道:
“如果我打开了四个空房间的门,我就会知道老虎在第五个房间。可是,国王说我不能事先知道它在哪里,所以老虎不可能在第五个房间。”
“五被排除了,所以老虎必然在前四个房间内。同样的推理,老虎也不会在最后一个房间——第四间内。”
按同样的理由推下去,迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐,他满怀信心地去看门。使他惊骇的是,老虎从第二个房间跳了出来。
迈克的推理并没有错,但他失败了。老虎的出现完全出乎意料,表明国王遵守了他的诺言。也许,迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止,逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。
4、钱包游戏
史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说:“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上,我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。”
学生甲想:“如果我的钱多,就会输掉我这些钱;如果他的多,我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多,这个游戏对我有利。”
同样的道理,学生乙也认为这个游戏对他有利。
请问,一个游戏怎么会对双方都有利呢?
5、一块钱哪儿去了?
一个唱片商店里,卖30张老式硬唱片,一块钱两张;另外30张软唱片是一块钱三张。那天,这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元,30张软唱片收入10元,总共是25元。
第二天,老板又拿出60张唱片。他想:“如果30张唱片是一块钱卖两张,30张是一块钱卖三张,何不放在一起,两块钱卖5张呢?”这一天,60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现,只卖得24元,而不是25元。
这一块钱到哪儿去了呢?
6、惊人的编码
外星的一位科学家基塔先生,来到地球收集人类的资料,遇到了赫尔曼博士。
赫尔曼:“你何不带一套大英百科全书回去?这套书最全面地汇总了我们的所有知识。”
基塔:“可惜,我带不走那么重的东西。不过,我可以把整套百科全书编码,然后只要在这根金属棒上作个标记,就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了!
基塔先生是怎样做到的呢?
基塔:“我先把每个字母、数字、符号,都用一个数来代表,零用来隔开它们。例如cat一词就编为3-0-1-0-22。我用高级袖珍计算机快速扫描,就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点,就使它变成了一个十进制的分数,例如0、2015015011……
基塔先生在金属棒上找到了一个点,这个点将棒分为a和b两段,而a/b刚好等于上面那个十进制分数值。
基塔:“回去后,测出a和b的值,就求出了它们的比值;根据编码的规定,你们的百科全书就被破译出来了。”
这样,基塔离开地球时只带了一根金属棒,而他却已“满载而归”了!
7、不可逃遁的点
帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身,当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下,晚上七点又回到山脚,遇见了拓扑学老师克莱因。
克莱因:“帕特,你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点,你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同?”
帕特:“这绝不可能!我走路时快时慢,有时还停下来休息。”
克莱因:“当你开始下山时,设想你有一个替身同时开始登山,这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇,但一定会有这样一点。”
帕特明白了。你明白了吗?
8、橡皮绳上的蠕虫
橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行;而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去,蠕虫最后究竟会不会到达终点呢?
乍一想,随着橡皮绳的拉伸,蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到:随着橡皮绳的每次拉伸,蠕虫也向前挪了。
如果用数学公式表示,蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置,表示为整条绳的.分数就是(推导过程从略):
当n足够大(约为e100000)时,上式的值就超过了1,也就是说蠕虫爬到了终点。
9、棘手的电灯
一盏电灯,用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟,然后关掉半分钟,再拧开1/4分钟,再关掉1/8分钟,如此往复,这一过程的末了恰好是两分钟。
那么,在这一过程结束时,电灯是开着,还是关着?这个问题实在是难!
10、罗素悖论
一天,一个理发师挂出了一块招牌:“村里所有不自己理发的人都由我给他们理发,我也只给这些人理发。”于是有人问他:“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。因为如果他给自己理发,那么他就属于自己给自己理发的那一类。但是,招牌上说明他不给这类理发,因此他不能自己理发。如果由另外一个人给他理发,他就是不给自己理发的人,而招牌上说明他要给所有不自己理发的人理发,因此他应该自己理。由此可见,不管做怎样的推论,理发师所说的话总是自相矛盾的。这是一个著名的悖论,称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的,他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。1874年,德国数学家康托尔创立了集合论,很快渗透到大部分数学分支,成为他们的基础。到19世纪末,全部数学几乎都建立在集合论是基础上了。就在这时,集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果,特别是1902年“罗素悖论”的提出,它极为简单、明确、通俗。于是,数学的基础被动摇了,这就是所谓的第三次“数学危机”。此后,为了克服这些悖论,数学家们做了大量研究工作,由此产生了大量新成果,也带来了数学观念的变革。
11、上帝不是万能的
用反证法证明证明:假设上帝是万能的,那么上帝能造出一块他自己都举不起来的石头,否则上帝就不是万能的;但是上帝又举不起这块石头,因此上帝不是万能的,这与假设矛盾;所以原假设不成立,即上帝不是万能的。