用公司的电脑打开一个网页的时候会跳出“XXX公司提醒你，上班时间禁止淘宝和玩游戏，一旦发现严肃处理

这种应该是通过公司网络路由设备等实现的，对接入网络的设备进行网页网站访问，网络流量使用进行监控记录的，一般不会记录电脑上的本地操作，避免方法也是只需要不接入公司网络就可以了。
还有一种是在本地安装了监控软件的客户端，例如iMonitor EAM计算机行为监控软件，客户端隐蔽运行的，在程序和功能，桌面等不会有弹窗或图标显示，只会在任务管理器显示个进程，不容易辨认，很难被发现。如果是这种一般是通过重装系统处理的，但是公司电脑不建议你这么干，可能违反规定，而且网管肯定会再检查装上的。
你的情况应该只是第一种，平时注意点就行，毕竟还在上班，该遵守的规定还是要遵守的，使用手机就尽量不要接入公司网络，使用流量就可以了。