如题所述
∠APB=150°
========================================================
∵△ABC是等边三角形
∴CA=AB=BC,∠ACB=∠CAB=∠CBA=60°
以点A为圆心,AP为半径,作圆弧
以点B为圆心,CP为半径,作圆弧
两段圆弧交△CAB的AB边外侧于点Q,连接AQ,BQ,PQ
则有:
BQ=CP=10 (作图)
AQ=AP=6 (作图)
AB=AB (公共)
∴△BQA≌△CPA (SSS)
∴∠BAQ=∠CAP
∴∠BAQ+∠PAB=∠CAP+∠PAB
即∠PAQ=∠CAB=60°
而△PAQ是等腰三角形 (AP=AQ)
∴△PAQ是正三角形
∴∠APQ=60°,PQ=AP=6
在△PBQ中,PB=8,PQ=6,BQ=10,
由余弦定理,得:
cos∠BPQ=(PB^2+PQ^2-BQ^2)/(2·PB·PQ)=(8^2+6^2-10^2)/(2·8·6)=0
∴∠BPQ=90°
∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°
注:x^2表示x的平方。
另外我还有一个方法就是利用旋转和全等三角形证明:
把APB绕A顺时针旋转60度
P就到了点O
你看AOP是正三角形
APB是直角三角形
所以APB=90+60
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∵△ABC是等边三角形
∴CA=AB=BC,∠ACB=∠CAB=∠CBA=60°
以点A为圆心,AP为半径,作圆弧
以点B为圆心,CP为半径,作圆弧
两段圆弧交△CAB的AB边外侧于点Q,连接AQ,BQ,PQ
则有:
BQ=CP=10 (作图)
AQ=AP=6 (作图)
AB=AB (公共)
∴△BQA≌△CPA (SSS)
∴∠BAQ=∠CAP
∴∠BAQ+∠PAB=∠CAP+∠PAB
即∠PAQ=∠CAB=60°
而△PAQ是等腰三角形 (AP=AQ)
∴△PAQ是正三角形
∴∠APQ=60°,PQ=AP=6
在△PBQ中,PB=8,PQ=6,BQ=10,
由余弦定理,得:
cos∠BPQ=(PB^2+PQ^2-BQ^2)/(2·PB·PQ)=(8^2+6^2-10^2)/(2·8·6)=0
∴∠BPQ=90°
∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°
注:x^2表示x的平方。
另外我还有一个方法就是利用旋转和全等三角形证明:
把APB绕A顺时针旋转60度
P就到了点O
你看AOP是正三角形
APB是直角三角形
所以APB=90+60
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