如题所述
第1个回答 2019-03-06
九连环专题汇总
九连环的历史
九连环的解法
九连环与格雷码
电脑九连环游戏
--------------------------------------------------------------------------------
秦宗慈
解九连环的记法：1在上，0在下，*上或下；按照玩九连环的习惯，左边（钗头方向）到右边依次是第一至第九环。
本示意图源自许莼舫《趣味的数和图》，转取自梁子杰（香港）的网页
稍微试验一下，就可得出以下基本规律：
基本规律1 第1号环随时可自由上下，即0********与1********可随时转换。
基本规律2 其他环当且仅当它前面仅有与它相邻的一个环在上面，例如，
10*******与11*******可随时转换
10*******与11*******可随时转换
000010***与000011***可随时转换
等等。
解法与步数分析：先讨论按照上面基本规律1，2解九连环，解法称完整解法，步数称完整步数。
假设初始时状态是000000000.
1，由初始状态到上最左边一个环，即由000000000到1000000000
按照基本规律1，仅需1步。
2，由初始状态到上最左边两个环，即由000000000到1100000000
过程：000000000————初始
100000000————基本规律1
110000000————基本规律2
共需2步。
3，由初始状态到上最左边三个环，即由000000000到111000000
过程：
000000000————初始
100000000————基本规律1
110000000————基本规律2
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
共需5步。
4，由初始状态到上最左边四个环，即由000000000到111100000
过程：
000000000————初始
100000000————基本规律1
110000000————基本规律2
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
101000000————基本规律2
001000000————基本规律1
001100000————基本规律2
101100000————基本规律1
111100000————基本规律2
共需10步。
4，由初始状态到上最左边五个环，即由000000000到111110000
过程：
000000000————初始
100000000————基本规律1
110000000————基本规律2
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
101000000————基本规律2
001000000————基本规律1
001100000————基本规律2
101100000————基本规律1
111100000————基本规律2
011100000————基本规律1
010100000————基本规律2
110100000————基本规律1
100100000————基本规律2
000100000————基本规律1
000110000————基本规律2
100110000————基本规律1
110110000————基本规律2
010110000————基本规律1
011110000————基本规律2
111110000————基本规律1
共需21步。
注意其中每7步一段，中间间隔1步。
许莼舫的口诀
一二一三一二一，钗前连二下第二，钗前单一上后环
简单解法
一二同上或同下，算一步，作为基本规律3.
基本规律3 第1，2号环可同时上下，即00*******与11*******可随时转换。
能利用基本规律3，就利用，再结合基本规律1，2，这种解法步数会少一些，称简单解法，步数称简单步数。这时的解法成为
1，由初始状态到上最左边一个环，即由000000000到1000000000
过程：
000000000————初始
100000000————基本规律1
共需1步。
2，由初始状态到上最左边两个环，即由000000000到1100000000
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
共需1步。
3，由初始状态到上最左边三个环，即由000000000到111000000
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
共需4步。
4，由初始状态到上最左边四个环，即由000000000到111100000
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
001000000————基本规律3
001100000————基本规律2
111100000————基本规律3
共需7步。
5，由初始状态到上最左边五个环，即由000000000到111110000
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
001000000————基本规律3
001100000————基本规律2
111100000————基本规律3
011100000————基本规律1
010100000————基本规律2
110100000————基本规律1
000100000————基本规律3
000110000————基本规律2
110110000————基本规律3
010110000————基本规律1
011110000————基本规律2
111110000————基本规律1
共需16步。
6，由初始状态到上最左边六个环，即由000000000到111111000
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
001000000————基本规律3
001100000————基本规律2
111100000————基本规律3
011100000————基本规律1
010100000————基本规律2
110100000————基本规律1
000100000————基本规律3
000110000————基本规律2
110110000————基本规律3
010110000————基本规律1
011110000————基本规律2
111110000————基本规律1
001110000————基本规律3
001010000————基本规律2
111010000————基本规律3
011010000————基本规律1
010010000————基本规律2
110010000————基本规律1
000010000————基本规律3
000011000————基本规律2
110011000————基本规律3
010011000————基本规律1
011011000————基本规律2
111011000————基本规律1
001011000————基本规律3
001111000————基本规律2
111111000————基本规律3
共需31步。
7，由初始状态到上最左边七个环，即由000000000到111111100
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
001000000————基本规律3
001100000————基本规律2
111100000————基本规律3
011100000————基本规律1
010100000————基本规律2
110100000————基本规律1
000100000————基本规律3
000110000————基本规律2
110110000————基本规律3
010110000————基本规律1
011110000————基本规律2
111110000————基本规律1
001110000————基本规律3
001010000————基本规律2
111010000————基本规律3
011010000————基本规律1
010010000————基本规律2
110010000————基本规律1
000010000————基本规律3
000011000————基本规律2
110011000————基本规律3
010011000————基本规律1
011011000————基本规律2
111011000————基本规律1
001011000————基本规律3
001111000————基本规律2
111111000————基本规律3
011111000————基本规律1
010111000————基本规律2
110111000————基本规律1
000111000————基本规律3
000101000————基本规律2
110101000————基本规律3
010101000————基本规律1
011101000————基本规律2
111101000————基本规律1
001101000————基本规律3
001001000————基本规律2
111001000————基本规律3
011001000————基本规律1
010001000————基本规律2
110001000————基本规律1
000001000————基本规律3
000001100————基本规律2
110001100————基本规律3
010001100————基本规律1
011001100————基本规律2
111001100————基本规律1
001001100————基本规律3
001101100————基本规律2
111101100————基本规律3
011101100————基本规律1
010101100————基本规律2
110101100————基本规律1
000101100————基本规律3
000111100————基本规律2
110111100————基本规律3
010111100————基本规律1
011111100————基本规律2
111111100————基本规律1
共需64步。
由初始状态到上最左边n个环所需步数N
按照简单记法，n为奇数时，N=2^（n-1）； n为偶数时，N=2^（n-1）-1
按照全部记法，n为奇数时，N=（2^（n+1）-1）/3； n为偶数时，N=（2^（n+1）-2）/3
9环全部上去，所需步数按照完整解法是341步，按照简单解法是256步。
进一步考虑，到某一个状态，如果知道完整步数是N，如何求相应的简单步数呢？
可以看出，由初始开始，每经过完整步数8步，简单步数可省略2步成为6步。余数达到2时再省略1步；达到7时再省略1步。因此简单步数N0是
其中运算 [x]表示实数x的整数部分，r是N除以8的余数。
九连环的历史
九连环的解法
九连环与格雷码
电脑九连环游戏
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秦宗慈
解九连环的记法：1在上，0在下，*上或下；按照玩九连环的习惯，左边（钗头方向）到右边依次是第一至第九环。
本示意图源自许莼舫《趣味的数和图》，转取自梁子杰（香港）的网页
稍微试验一下，就可得出以下基本规律：
基本规律1 第1号环随时可自由上下，即0********与1********可随时转换。
基本规律2 其他环当且仅当它前面仅有与它相邻的一个环在上面，例如，
10*******与11*******可随时转换
10*******与11*******可随时转换
000010***与000011***可随时转换
等等。
解法与步数分析：先讨论按照上面基本规律1，2解九连环，解法称完整解法，步数称完整步数。
假设初始时状态是000000000.
1，由初始状态到上最左边一个环，即由000000000到1000000000
按照基本规律1，仅需1步。
2，由初始状态到上最左边两个环，即由000000000到1100000000
过程：000000000————初始
100000000————基本规律1
110000000————基本规律2
共需2步。
3，由初始状态到上最左边三个环，即由000000000到111000000
过程：
000000000————初始
100000000————基本规律1
110000000————基本规律2
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
共需5步。
4，由初始状态到上最左边四个环，即由000000000到111100000
过程：
000000000————初始
100000000————基本规律1
110000000————基本规律2
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
101000000————基本规律2
001000000————基本规律1
001100000————基本规律2
101100000————基本规律1
111100000————基本规律2
共需10步。
4，由初始状态到上最左边五个环，即由000000000到111110000
过程：
000000000————初始
100000000————基本规律1
110000000————基本规律2
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
101000000————基本规律2
001000000————基本规律1
001100000————基本规律2
101100000————基本规律1
111100000————基本规律2
011100000————基本规律1
010100000————基本规律2
110100000————基本规律1
100100000————基本规律2
000100000————基本规律1
000110000————基本规律2
100110000————基本规律1
110110000————基本规律2
010110000————基本规律1
011110000————基本规律2
111110000————基本规律1
共需21步。
注意其中每7步一段，中间间隔1步。
许莼舫的口诀
一二一三一二一，钗前连二下第二，钗前单一上后环
简单解法
一二同上或同下，算一步，作为基本规律3.
基本规律3 第1，2号环可同时上下，即00*******与11*******可随时转换。
能利用基本规律3，就利用，再结合基本规律1，2，这种解法步数会少一些，称简单解法，步数称简单步数。这时的解法成为
1，由初始状态到上最左边一个环，即由000000000到1000000000
过程：
000000000————初始
100000000————基本规律1
共需1步。
2，由初始状态到上最左边两个环，即由000000000到1100000000
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
共需1步。
3，由初始状态到上最左边三个环，即由000000000到111000000
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
共需4步。
4，由初始状态到上最左边四个环，即由000000000到111100000
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
001000000————基本规律3
001100000————基本规律2
111100000————基本规律3
共需7步。
5，由初始状态到上最左边五个环，即由000000000到111110000
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
001000000————基本规律3
001100000————基本规律2
111100000————基本规律3
011100000————基本规律1
010100000————基本规律2
110100000————基本规律1
000100000————基本规律3
000110000————基本规律2
110110000————基本规律3
010110000————基本规律1
011110000————基本规律2
111110000————基本规律1
共需16步。
6，由初始状态到上最左边六个环，即由000000000到111111000
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
001000000————基本规律3
001100000————基本规律2
111100000————基本规律3
011100000————基本规律1
010100000————基本规律2
110100000————基本规律1
000100000————基本规律3
000110000————基本规律2
110110000————基本规律3
010110000————基本规律1
011110000————基本规律2
111110000————基本规律1
001110000————基本规律3
001010000————基本规律2
111010000————基本规律3
011010000————基本规律1
010010000————基本规律2
110010000————基本规律1
000010000————基本规律3
000011000————基本规律2
110011000————基本规律3
010011000————基本规律1
011011000————基本规律2
111011000————基本规律1
001011000————基本规律3
001111000————基本规律2
111111000————基本规律3
共需31步。
7，由初始状态到上最左边七个环，即由000000000到111111100
过程：
000000000————初始
110000000————基本规律3
010000000————基本规律1
011000000————基本规律2
111000000————基本规律1
001000000————基本规律3
001100000————基本规律2
111100000————基本规律3
011100000————基本规律1
010100000————基本规律2
110100000————基本规律1
000100000————基本规律3
000110000————基本规律2
110110000————基本规律3
010110000————基本规律1
011110000————基本规律2
111110000————基本规律1
001110000————基本规律3
001010000————基本规律2
111010000————基本规律3
011010000————基本规律1
010010000————基本规律2
110010000————基本规律1
000010000————基本规律3
000011000————基本规律2
110011000————基本规律3
010011000————基本规律1
011011000————基本规律2
111011000————基本规律1
001011000————基本规律3
001111000————基本规律2
111111000————基本规律3
011111000————基本规律1
010111000————基本规律2
110111000————基本规律1
000111000————基本规律3
000101000————基本规律2
110101000————基本规律3
010101000————基本规律1
011101000————基本规律2
111101000————基本规律1
001101000————基本规律3
001001000————基本规律2
111001000————基本规律3
011001000————基本规律1
010001000————基本规律2
110001000————基本规律1
000001000————基本规律3
000001100————基本规律2
110001100————基本规律3
010001100————基本规律1
011001100————基本规律2
111001100————基本规律1
001001100————基本规律3
001101100————基本规律2
111101100————基本规律3
011101100————基本规律1
010101100————基本规律2
110101100————基本规律1
000101100————基本规律3
000111100————基本规律2
110111100————基本规律3
010111100————基本规律1
011111100————基本规律2
111111100————基本规律1
共需64步。
由初始状态到上最左边n个环所需步数N
按照简单记法，n为奇数时，N=2^（n-1）； n为偶数时，N=2^（n-1）-1
按照全部记法，n为奇数时，N=（2^（n+1）-1）/3； n为偶数时，N=（2^（n+1）-2）/3
9环全部上去，所需步数按照完整解法是341步，按照简单解法是256步。
进一步考虑，到某一个状态，如果知道完整步数是N，如何求相应的简单步数呢？
可以看出，由初始开始，每经过完整步数8步，简单步数可省略2步成为6步。余数达到2时再省略1步；达到7时再省略1步。因此简单步数N0是
其中运算 [x]表示实数x的整数部分，r是N除以8的余数。
