如题所述
第1个回答 2015-03-03
已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1（-c，0）（c＞0）到圆C：（x-2）2+（y-4）2=1上任意一点距离的最大值为6，且过椭圆右焦点F2（c，0）与上顶点的直线与圆O：x2+y2=相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l：y=-x+m与椭圆E交于A，B两点，当以AB为直径的圆与y轴相切时，求m的值．
【解析】
（1）由题意，+1=6，可得c=1，过椭圆右焦点F2（c，0）与上顶点的直线与圆O：x2+y2=相切，可求b，从而可得椭圆E的方程；
（2）l：y=-x+m与椭圆E联立，因为以AB为直径的圆与y轴相切，所以圆心到y轴的距离即圆心横坐标等于半径，由弦长公式可求得|AB|，从而可得半径，利用韦达定理及中点坐标公式可求得m的值．
【答案】
解：（1）由题意，+1=6，
∵c＞0，∴c=1，
过椭圆右焦点F2（c，0）与上顶点的直线方程为，即bx+y-b=0，
∵过椭圆右焦点F2（c，0）与上顶点的直线与圆O：x2+y2=相切，
∴=，
∴b=1，
∴a=，
∴椭圆E的方程为；
（2）直线l：y=-x+m与椭圆E联立可得3x2-4mx+2m2-2=0，△＞0，得m2＜3．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
∴AB的中点横坐标为，
∵以AB为直径的圆的半径为r=|x1-x2|=||，
∴（x1+x2）2=8x1x2，即（）2=8•，
∴m2=＜3，
∴m=±．
【点评】
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础．
望采纳 谢谢！追问
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l：y=-x+m与椭圆E交于A，B两点，当以AB为直径的圆与y轴相切时，求m的值．
【解析】
（1）由题意，+1=6，可得c=1，过椭圆右焦点F2（c，0）与上顶点的直线与圆O：x2+y2=相切，可求b，从而可得椭圆E的方程；
（2）l：y=-x+m与椭圆E联立，因为以AB为直径的圆与y轴相切，所以圆心到y轴的距离即圆心横坐标等于半径，由弦长公式可求得|AB|，从而可得半径，利用韦达定理及中点坐标公式可求得m的值．
【答案】
解：（1）由题意，+1=6，
∵c＞0，∴c=1，
过椭圆右焦点F2（c，0）与上顶点的直线方程为，即bx+y-b=0，
∵过椭圆右焦点F2（c，0）与上顶点的直线与圆O：x2+y2=相切，
∴=，
∴b=1，
∴a=，
∴椭圆E的方程为；
（2）直线l：y=-x+m与椭圆E联立可得3x2-4mx+2m2-2=0，△＞0，得m2＜3．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
∴AB的中点横坐标为，
∵以AB为直径的圆的半径为r=|x1-x2|=||，
∴（x1+x2）2=8x1x2，即（）2=8•，
∴m2=＜3，
∴m=±．
【点评】
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础．
望采纳 谢谢！追问
OBJ是什么意思
追答sorry意外
追问算了，我联系上下文能做出来
