已知F1，F2为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点，P(a/4,t)为椭圆上第一象限的点，过P作两互相垂直的直线L1、L2，L1经过椭圆左顶点A，L2经过右焦点F2.
(1)求椭圆离心率
(2)将直线L1绕点P逆时针旋转30°后，直线L1通左焦点F1{原题中就是说“通”左焦点F1，没看懂}，与椭圆交于B点，此时△PF2B面积为35√3/11，求椭圆C的方程
第1个回答 推荐于2021-01-28
解：
（1）由题意得：A(-a,0) P(a/4,t) F1(-c,0) F2(c,0)
∴AP=(5a/4,t) F2P=(a/4-c,t)【此处为向量】
AP*F2P=5a^2/16-5/4ac+t^2=0【此处为向量】
∴t^2=5/4ac-5/16a^2 ①
∵P在椭圆上
∴1/16+t^2/b^2=1 ②
联合①②得
15(a^2-c^2)=20ac-5a^2
整理得(3e-2)(e+2)=0
∴e=2/3或e=-2舍
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H
tanα=tan∠HPF1=(c+a/4)/t
tanβ=tan∠APH=(a+a/4)/t
tan30°=tan(β-α)=√3/3 ③
设B(x0,y0)
kF1P=4t/a+4c
F1P：y=[4t/(a+4c)]/(x+c) ④
∵B在椭圆上
∴x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 ⑤
S=1/2*2c*t+1/2*2c*y0=35√3/11 ⑥
联合③④⑤⑥得
a^2=9,c^2=4
∴x^2/9+y^2/4=1
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（1）由题意得：A(-a,0) P(a/4,t) F1(-c,0) F2(c,0)
∴AP=(5a/4,t) F2P=(a/4-c,t)【此处为向量】
AP*F2P=5a^2/16-5/4ac+t^2=0【此处为向量】
∴t^2=5/4ac-5/16a^2 ①
∵P在椭圆上
∴1/16+t^2/b^2=1 ②
联合①②得
15(a^2-c^2)=20ac-5a^2
整理得(3e-2)(e+2)=0
∴e=2/3或e=-2舍
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H
tanα=tan∠HPF1=(c+a/4)/t
tanβ=tan∠APH=(a+a/4)/t
tan30°=tan(β-α)=√3/3 ③
设B(x0,y0)
kF1P=4t/a+4c
F1P：y=[4t/(a+4c)]/(x+c) ④
∵B在椭圆上
∴x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 ⑤
S=1/2*2c*t+1/2*2c*y0=35√3/11 ⑥
联合③④⑤⑥得
a^2=9,c^2=4
∴x^2/9+y^2/4=1
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