设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明在区间(0,1)上存在一点t,使得f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
第1个回答 2013-03-14
郭敦顒回答：
∵函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导，若在区间(0,1)上存在一点t,使得f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
f（t）=2 t[f(1)－f(0)]，在f(1)中x=1，f(0)中，x=0，在f（t）中x= t，
∴f（t）=f（x）=2x[f(1) －f(0)]=2x
∴f（x）=2x，为幂函数，在[0,1]上连续,在(0,1)内可导，在区间(0,1)上存在一点t,使得f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
∵函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导，若在区间(0,1)上存在一点t,使得f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
f（t）=2 t[f(1)－f(0)]，在f(1)中x=1，f(0)中，x=0，在f（t）中x= t，
∴f（t）=f（x）=2x[f(1) －f(0)]=2x
∴f（x）=2x，为幂函数，在[0,1]上连续,在(0,1)内可导，在区间(0,1)上存在一点t,使得f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
第2个回答 2013-03-14
设F（x）=x²显然满足[0,1]上连续,在(0,1)内可导，且（0,1）内导数不等于0
F'（x）=2x
所以
由柯西中值定理，得
存在t∈（0,1），使得
f’（t）/F'（t）=【f（1）-f（0）】/【F（1）-F（0）】
即
f’（t）/2t=【f（1）-f（0）】/1
即
f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
F'（x）=2x
所以
由柯西中值定理，得
存在t∈（0,1），使得
f’（t）/F'（t）=【f（1）-f（0）】/【F（1）-F（0）】
即
f’（t）/2t=【f（1）-f（0）】/1
即
f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
第3个回答 2013-03-14
凑个热闹吧看不懂
第4个回答 2013-03-14
本回答被提问者采纳
