设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明在区间(0,1)上存在一点t,使得f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
第1个回答 2013-03-14
郭敦顒回答:
∵函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,若在区间(0,1)上存在一点t,使得f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
f(t)=2 t[f(1)-f(0)],在f(1)中x=1,f(0)中,x=0,在f(t)中x= t,
∴f(t)=f(x)=2x[f(1) -f(0)]=2x
∴f(x)=2x,为幂函数,在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,在区间(0,1)上存在一点t,使得f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
∵函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,若在区间(0,1)上存在一点t,使得f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
f(t)=2 t[f(1)-f(0)],在f(1)中x=1,f(0)中,x=0,在f(t)中x= t,
∴f(t)=f(x)=2x[f(1) -f(0)]=2x
∴f(x)=2x,为幂函数,在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,在区间(0,1)上存在一点t,使得f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
第2个回答 2013-03-14
设F(x)=x²显然满足[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0,1)内导数不等于0
F'(x)=2x
所以
由柯西中值定理,得
存在t∈(0,1),使得
f’(t)/F'(t)=【f(1)-f(0)】/【F(1)-F(0)】
即
f’(t)/2t=【f(1)-f(0)】/1
即
f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
F'(x)=2x
所以
由柯西中值定理,得
存在t∈(0,1),使得
f’(t)/F'(t)=【f(1)-f(0)】/【F(1)-F(0)】
即
f’(t)/2t=【f(1)-f(0)】/1
即
f'(t)=2t[f(1)-f(0)]。
第3个回答 2013-03-14
凑个热闹吧看不懂
第4个回答 2013-03-14
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