如图，抛物线y=ax 2 +c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N． （1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时 的值；②试说明无论k取何值， 的值都等于同一个常数．
| 解：（1）∵抛物线y=ax 2 +c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）， ∴  ，解得 。∴抛物线的解析式为y=  x 2 ﹣1。（2）证明：设点A的坐标为（m， m 2 ﹣1），则  。∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2。 ∴AM= m 2 ﹣1﹣（﹣2）= m 2 +1。∴AO=AM。 （3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴  。②k取任何值时，设点A（x 1 ， x 1 2 ﹣1），B（x 2 ， x 2 2 ﹣1），则  。联立  ，消掉y得，x 2 ﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x 1 +x 2 =4k，x 1 ?x 2 =﹣4， ∴x 1 2 +x 2 2 =（x 1 +x 2 ） 2 ﹣2x 1 ?x 2 =16k 2 +8，x 1 2 ?x 2 2 =16。 ∴  。∴无论k取何值，  的值都等于同一个常数1。 |
| 试题分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。 （2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。 （3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入 计算即可得解；②设点A（x 1 ， x 1 2 ﹣1），B（x 2 ， x 2 2 ﹣1），然后表示出 ，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x 1 +x 2 ，x 1 ? 2 ，并求出x 1 2 +x 2 2 ，x 1 2 ?x 2 2 ，然后代入进行计算即可得解。 |
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