高中数学 双曲线 点差法;

1
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它
的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、
中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式
作差，得到一个与弦

的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法
为“点差法”
，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗
浅的探讨，以飨读者。

定理

在双曲线
1
2
2
2
2


b
y
a
x
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）中，若直线
l
与双曲线相交于
M
、
N
两点，点

)
,
(
0
0
y
x
P
是弦
MN
的中点，弦
MN
所在的直线
l
的斜率为
MN
k
，则
2
2
0
0
a
b
x
y
k
MN


.
证明：设
M
、
N
两点的坐标分别为
)
,
(
1
1
y
x
、
)
,
(
2
2
y
x
，则有











)
2
(
.
1
)
1
(
,
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1




b
y
a
x
b
y
a
x

)
2
(
)
1
(

，得
.
0
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1




b
y
y
a
x
x

.
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
a
b
x
x
y
y
x
x
y
y








又
.
2
2
,
0
0
0
0
2
1
2
1
1
2
1
2
x
y
x
y
x
x
y
y
x
x
y
y
k
MN









.
2
2
0
0
a
b
x
y
k
MN




同理可证，在双曲线
1
2
2
2
2


b
x
a
y
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）中，若直线
l
与双曲线相交于
M
、
N
两点，
点
)
,
(
0
0
y
x
P
是弦
MN
的中点，弦
MN
所在的直线
l
的斜率为
MN
k
，则
2
2
0
0
b
a
x
y
k
MN


.
典题妙解

例
1
已知双曲线
1
3
:
2
2


x
y
C
，过点
)
1
,
2
(
P
作直线
l
交双曲线
C
于
A
、
B
两点
.

2
（
1
）求弦
AB
的中点
M
的轨迹；

（
2
）若
P
恰为弦
AB
的中点，求直线
l
的方程
.
解：
（
1
）
,
3
,
1
2
2


b
a
焦点在
y
轴上
.
设点
M
的坐标为
)
,
(
y
x
，由
2
2
b
a
x
y
k
AB


得：
3
1
2
1




x
y
x
y
，

整理得：
.
0
3
2
3
2
2




y
x
y
x


所求的轨迹方程为
.
0
3
2
3
2
2




y
x
y
x

（
2
）


P
恰为弦
AB
的中点，


由
2
2
0
0
b
a
x
y
k
AB


得：
,
3
1
2
1


AB
k
即
.
3
2

AB
k


直线
l
的方程为
)
2
(
3
2
1



x
y
，即
.
0
1
3
2



y
x

例
2
已知双曲线
2
2
:
2
2


y
x
C
与点
).
2
,
1
(
P

（
1
）斜率为
k
且过点
P
的直线
l
与
C
有两个公共点，求
k
的取值范围；

（
2
）是否存在过点
P
的弦
AB
，使得
AB
的中点为
P
？

（
3
）试判断以
)
1
,
1
(
Q
为中点的弦是否存在
.
解：
（
1
）直线
l
的方程为
)
1
(
2



x
k
y
，即
.
2
k
kx
y




由








.
2
2
,
2
2
2
y
x
k
kx
y
得
.
0
6
4
)
2
(
2
)
2
(
2
2
2
2







k
k
x
k
k
x
k


直线
l
与
C
有两个公共点，


得














.
0
)
6
4
)(
2
(
4
)
2
(
4
,
0
2
2
2
2
2
2

k
k
k
k
k
k

解之得：
k
＜
2
3
且
.
2


k


k
的取值范围是
).
2
3
,
2
(
)
2
,
2
(
)
2
,
(






（
2
）双曲线的标准方程为
.
2
,
1
,
1
2
2
2
2
2





b
a
y
x

设存在过点
P
的弦
AB
，使得
AB
的中点为
P
，则由
2
2
0
0
a
b
x
y
k
AB


得：
.
1
,
2
2




k
k

由（
1
）可知，
1

k
时，直线
l
与
C
有两个公共点，


存在这样的弦
.
这时直线
l
的方程为
.
1


x
y

3
（
3
）设以
)
1
,
1
(
Q
为中点的弦存在，则由
2
2
0
0
a
b
x
y
k
AB


得：
.
2
,
2
1




k
k

由（
1
）可知，
2

k
时，直线
l
与
C
没有两个公共点，


设以
)
1
,
1
(
Q
为中点的弦不存在
.

例
3

过点
)
0
,
2
(

M
作直线
l
交双曲线
1
:
2
2


y
x
C
于
A
、
B
两点，已知
OB
OA
OP


（
O
为坐标原点）
，求点
P
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线
.
解：在双曲线
1
:
2
2


y
x
C
中，
1
2
2


b
a
，焦点在
x
轴上
.
设弦
AB
的中点为
Q
.
,
OB
OA
OP




由平行四边形法则知：
OQ
OP
2

，即
Q
是线段
OP
的中点
.
设点
P
的坐标为
)
,
(
y
x
，则点
Q
的坐标为






2
,
2
y
x
.
由
2
2
2
2
a
b
x
y
k
AB


得：
1
4
2
2
2






x
y
x
y
x
y
x
y
，

整理得：
.
0
4
2
2



x
y
x

配方得：
1
4
4
)
2
(
2
2



y
x
.

点
P
的轨迹方程是
1
4
4
)
2
(
2
2



y
x
，它是中心为
)
0
,
2
(

，对称轴分别为
x
轴和直线
0
2


x
的双曲线
.
例
4.
设双曲线
C
的中心在原点，以抛物线
4
3
2
2


x
y
的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准
线为双曲线的右准线．

（Ⅰ）试求双曲线
C
的方程；

（Ⅱ）设直线
:
2
1
l
y
x


与双曲线
C
交于
,
A
B
两点，求
AB
；

（Ⅲ）对于直线
1
:


kx
y
l
，是否存在这样的实数
k
，使直线
l
与双曲线
C
的交点
,
A
B
关于直
线
4
:
'


ax
y
l

(
a
为常数
)
对称，若存在，求出
k
值；若不存在，请说明理由．

解：
（Ⅰ）由
2
2
3
4
y
x


得
)
3
2
(
3
2
2


x
y
，

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