1.已知双曲线的焦点在X轴上，离心率为2， A，B为左、右焦点，P为双曲线上一点，且角APB=60°，三角形PAB=12√ 3，求双曲线的标准方程。
2.设点A、B是抛物线Y²=4PX(P<0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
设双曲线方程为X^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0).
e=c/a=2则c=2a.
由双曲线的定义||PA|-|PB||=2a=c,
在三角形中，利用余弦定理|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cos60°=(|PA|-|PB|)2+2|PA||PB|(1-cos60°),即4c2=c2+|PA||PB|.①
又三角形PAB=12√ 3 所以0.5|PA||PB|sin60°=12√ 3 ,即|PA||PB|=48.②
由①②,得c2=16,c=4,则a=2,b2=c2-a2=12.所以所求的双曲线方程为X^2/4-y^2/12=1
2,点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
点A、B在抛物线y2=4px上，
设A(ya^2/4p,ya)，B（yb^2/4p，yb），OA、OB的斜率分别为kOA、kOB，
∴kOA=4p/ya kOB=4p/yb
由OA⊥OB，得kOA·kOB=16P^2/YAYB=-1. ①
由点A在AB上，得直线AB的方程为
(ya＋yb)（y-ya）=4p（x-ya^2/4p）. ②
由OM⊥AB，得直线OM方程为y=(ya+yb)/4px. ③
设点M(x,y)，则x、y满足②③两式，将②式两边同时乘以-x/4p，并利用③式
整理得x/4pyA2+yyA-(x2＋y2)=0. ④
由③④两式得-x/4p+yByA-(x2＋y2)=0，
由①式知，yAyB=-16p2，
∴x2＋y2-4px=0．
∵A、B是原点以外的两点，∴x≠0．
∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
e=c/a=2则c=2a.
由双曲线的定义||PA|-|PB||=2a=c,
在三角形中，利用余弦定理|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cos60°=(|PA|-|PB|)2+2|PA||PB|(1-cos60°),即4c2=c2+|PA||PB|.①
又三角形PAB=12√ 3 所以0.5|PA||PB|sin60°=12√ 3 ,即|PA||PB|=48.②
由①②,得c2=16,c=4,则a=2,b2=c2-a2=12.所以所求的双曲线方程为X^2/4-y^2/12=1
2,点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
点A、B在抛物线y2=4px上，
设A(ya^2/4p,ya)，B（yb^2/4p，yb），OA、OB的斜率分别为kOA、kOB，
∴kOA=4p/ya kOB=4p/yb
由OA⊥OB，得kOA·kOB=16P^2/YAYB=-1. ①
由点A在AB上，得直线AB的方程为
(ya＋yb)（y-ya）=4p（x-ya^2/4p）. ②
由OM⊥AB，得直线OM方程为y=(ya+yb)/4px. ③
设点M(x,y)，则x、y满足②③两式，将②式两边同时乘以-x/4p，并利用③式
整理得x/4pyA2+yyA-(x2＋y2)=0. ④
由③④两式得-x/4p+yByA-(x2＋y2)=0，
由①式知，yAyB=-16p2，
∴x2＋y2-4px=0．
∵A、B是原点以外的两点，∴x≠0．
∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
