二重微积分问题,“设f(x,y)在单位圆上有连续一阶偏导数,且在边界值上取值为零”这句话怎么理解?为什么通过上面这句话就推导出 0到2π上的f(cosx,sinx)dx=0?
单位圆边界就是x^2+y^2=1,
即x=cost,y=sint,0≤t≤2π。
f(x,y)在单位圆边界值上取值为零,即f(cost,sint)=0,
也可以写成f(cosx,sinx)=0,所以∫<0→2π>f(cosx,sinx)dx=0050。
设h(x,y)=f(x,y)-g(x,y).
则h(x,y)在D上有连续偏导数,且在∂D上恒等于0.
由h(x,y)连续,D是有界闭区域,h(x,y)可在D上取得最大最小值.
若最大最小值都是在∂D上取得,即有h(x,y)的最大最小值都是0.
h(x,y)恒等于0,f(x,y)=g(x,y)对任意(x,y)∈D成立.
于是▽f(x,y)=▽g(x,y)也对任意(x,y)∈D成立,自然也对(x,y)∈D^0成立.
若最大最小值不都在∂D上取得,设h(x,y)在(x0,y0)∈D^0处取得最大值或最小值.
则有▽f(x0,y0)-▽g(x0,y0)=▽h(x0,y0)=0.
即存在(x0,y0)∈D^0,使▽f(x0,y0)=▽g(x0,y0)。
扩展资料
举例
设f(x,y)在D:x2+y2≤1上有连续偏导数,且在边界上函数值为零,f(0,0)=2008.则
limε→0+∬ε2≤x2+y2≤1xf′x+yf′yx2+y2dxdy等于:
因为
∬ɛ2≤x2+y2≤1xf′x+yf′yx2+y2dxdy
=∬ɛ2≤x2+y2≤1(∂∂x(xx2+y2f(x,y))+∂∂y(yx2+y2f(x,y)))dxdy-∬ɛ2≤x2+y2≤1(∂∂x(xx2+y2)+∂∂y(yx2+y2))f(x,y)dxdy=I1+I2.计算可得,I2
=∬ɛ2≤x2+y2≤10dxdy=0.注意到f(x,y)在x2+y2=1上的函数值为零,故利用格林公式以及积分中值定理可得可得,
I1=∮x2+y2=1xx2+y2f(x,y)dy−yx2+y2f(x,y)dx-∮x2+y2=ɛ2xx2+y2f(x,y)dy−yx2+y2f(x,y)dx
=0-1ɛ2∮x2+y2=ɛ2xf(x,y)dy−yf(x,y)dx
=-1ɛ2∬x2+y2≤ɛ2[(f+xf′x)+(f+yf′y)]dxdy
=-π(2f(ξ,η)+ξf′x(ξ,η)+ηf′y(ξ,η)),其中ξ2+η2=1。
因此,∬ɛ2≤x2+y2≤1xf′x+yf′yx2+y2dxdy=-π(2f(ξ,η)+ξf′x(ξ,η)+ηf′y(ξ,η)),
ξ2+η2=1.当ɛ→0时,(ξ,η)→(0,0),又因为f(x,y)在D:x2+y2≤1上有连续偏导数,所以,
limɛ→0∬ɛ2≤x2+y2≤1xf′x+yf′yx2+y2dxdy
=-limɛ→0π(2f(ξ,η)+ξf′x(ξ,η)+ηf′y(ξ,η)
=-2πf(0,0)
=-4016π.
故答案为:-4016π。
f(x,y)在单位圆 边界值上取值为零,即f(cost,sint)=0,也可以写成f(cosx,sinx)=0,
所以∫<0→2π>f(cosx,sinx)dx=0本回答被网友采纳