已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的离心率为三分之根号六，短轴一个端点到右焦点的距离为根号三。设直线L与椭圆交于A,B两点，坐标原点O到直线L的距离为二分之根号三，求△AOB面积的最大值。
解析，
a>b>0
e=c/a=√6/3,
短轴一个端点到右焦点的距离为√3，即是a=√3
那么，c=√2，b=1
椭圆的方程为：x²+3y²-3=0
设直线的方程为mx+ny=1
原点到直线的距离为√3/2，
即是，1/√(m²+n²)=√3/2，
整理得，m²+n²=4/3.
当m=0时，即AB垂直y轴，此时S(△ABC)=3/4。
当n=0时，即AB垂直x轴，此时S(△ABC)=3/4。
当m,n≠0时，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)
x1-x2=n(y2-y1)/m，
S(△ABC)=1/2*√3/2*√[(y1-y2)²+(x1-x2)²]
=√3/4*√[(y1-y2)²+(x1-x2)²]
=√3/4*|y1-y2|*√[(m²+n²)/m²]
=1/2*|y1-y2|/|m|。
mx+ny=1，x²+3y²-3=0联立，
整理得，(3m²+n²)y²-2ny+1-3m²=0，
y1+y2=2n/(3m²+n²)，y1*y2=(1-3m²)/(3m²+n²)
|y1-y2|=√[(y1+y2)²-4y1*y2]=2√3*|m|*√[(3m²+n²-1)/(3m²+n²)²]
因此，
S(△ABC)=1/2*|y1-y2|/|m|
=√3*√[(3m²+n²-1)/(3m²+n²)²]
又，m²+n²=4/3代入
原式=√3*√[(2m²+1/3)/(2m²+4/3)²]【配方法】
=√3/√[(2m²+1/3)+1/(2m²+1/3)+2]
≦√3/√(2+2)=√3/2
当且仅当2m²+1/3=1/(2m²+1/3)，即是m²=1/3时取等号。
又，√3/2>3/4
S(△ABC)(max)=√3/2.
a>b>0
e=c/a=√6/3,
短轴一个端点到右焦点的距离为√3，即是a=√3
那么，c=√2，b=1
椭圆的方程为：x²+3y²-3=0
设直线的方程为mx+ny=1
原点到直线的距离为√3/2，
即是，1/√(m²+n²)=√3/2，
整理得，m²+n²=4/3.
当m=0时，即AB垂直y轴，此时S(△ABC)=3/4。
当n=0时，即AB垂直x轴，此时S(△ABC)=3/4。
当m,n≠0时，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)
x1-x2=n(y2-y1)/m，
S(△ABC)=1/2*√3/2*√[(y1-y2)²+(x1-x2)²]
=√3/4*√[(y1-y2)²+(x1-x2)²]
=√3/4*|y1-y2|*√[(m²+n²)/m²]
=1/2*|y1-y2|/|m|。
mx+ny=1，x²+3y²-3=0联立，
整理得，(3m²+n²)y²-2ny+1-3m²=0，
y1+y2=2n/(3m²+n²)，y1*y2=(1-3m²)/(3m²+n²)
|y1-y2|=√[(y1+y2)²-4y1*y2]=2√3*|m|*√[(3m²+n²-1)/(3m²+n²)²]
因此，
S(△ABC)=1/2*|y1-y2|/|m|
=√3*√[(3m²+n²-1)/(3m²+n²)²]
又，m²+n²=4/3代入
原式=√3*√[(2m²+1/3)/(2m²+4/3)²]【配方法】
=√3/√[(2m²+1/3)+1/(2m²+1/3)+2]
≦√3/√(2+2)=√3/2
当且仅当2m²+1/3=1/(2m²+1/3)，即是m²=1/3时取等号。
又，√3/2>3/4
S(△ABC)(max)=√3/2.
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