已知双曲线C： 的离心率为 ，左顶点为（-1，0）。（1）求双曲线方程；（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆 上，求m的值和线段AB的长。
（1） （2） |
| 试题分析：（1）因为双曲线的离心率为  ，所以 ，又左顶点为 ，所以 ，因此可解得 ， ，从而求得双曲线的标准方程： （2）设  ， 中点 的坐标为 ，则 联立方程组：  消去 得关于 的一元二次方程，在判别式大于零的条件下，由韦达定理可用含参数 的表达式表示 和 ，进而表示 和 ，由于点 到原点的距离为 ，可据此列方程解得 的值；最后根据弦长公式求弦 的长.试题解析： （1）依题意  所以 ..2分所以双曲线方程为 ..4分（2）由 得 ， .6分∴  ，又∵中点在直线  上，所以可得中点坐标为（m,2m）,代入  得 .8分|AB|=  。 12分 |
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