答案中有一步关于xsin²x在0到π上的定积分看不懂

定积分值=
-π/3
+π=
2π/3。
解题过程如下：
∫x
*(sinx)^3
dx
=-∫
x
*(sinx)^2
d(cosx)
=
∫
x
*(cosx)^2
-x
d(cosx)
而显然
∫
x
*(cosx)^2
d(cosx)
=1/3
*∫
x
d(cosx)^3
=
x/3
*(cosx)^3
-∫1/3
*(cosx)^3dx
=
x/3
*(cosx)^3
-∫1/3
*(cosx)^2
d(sinx)
=
x/3
*(cosx)^3
-∫1/3
-(sinx)^2
/3
d(sinx)
=
x/3
*(cosx)^3
-1/3
*sinx
+1/9
*(sinx)^3
∫-x
d(cosx)
=
-x
*cosx
+∫cosx
dx
=
-x
*cosx
+sinx
二者相加得到
∫x
*(sinx)^3
dx
=
x/3
*(cosx)^3
+2/3
*sinx
+1/9
*(sinx)^3
-x
*cosx
代入上下限π和0，
定积分值=
-π/3
+π=
2π/3
扩展资料
“定积分”的简单性质有：
性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx。
性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。
性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a。
性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。
性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=f(a->b)f(x)dx<=M(b-a)
(a<b)。

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