设(G,*)是循环群，a∈G，如果a不是任何一个非平凡子群的元素,证明a是(G,*)的生成元

用反证法。若a不是G的生成元，设G的一个生成元为b，则a=b^k且b≠1（k可以＜0，但|k|≥2）
①若|G|=∞，则b是非平凡子群{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}的元素，与假设矛盾，因而此时b是G的生成元。
②若|G|<∞，设|b|=n，则因为b不为G的生成元，n<|G|，但此时b是非平凡子群H={1,b,b^2,…,b^(n-1)}的元素（因为|H|=n<|G|故而H是G的非平凡子群）矛盾。因而此时b也是G的生成元。追问

不明白，能不能说明白点？

追答

额，我这已经写得很清楚了啊。。什么地方不明白，我再解释详细一点。。

追问

{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}为什么是非平凡子群，感觉那么怪的？

“|G|<∞，设|b|=n，则因为b不为G的生成元，n<|G|” 中为什么b不为G的生成元？一开始不是设G的一个生成元为b了吗

H={1,b,b^2,…,b^(n-1)} 是G的子群吗？为什么会有元素 1 ？

追答

首先{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}是群，因为它满足乘法结合律且关于乘法封闭，而且1在里面，每个元素都有逆元。又因为{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}是G的一个子集，且{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}≠{1}或G，因而{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}是G的一个非平凡子群。
啊不好意思我后面写错了，应该是a。当|G|<∞时我重写一遍。
设|a|=n，则因为a不为G的生成元，n<|G|，但此时a是非平凡子群H={1,a,a^2,…,a^(n-1)}的元素（因为|H|=n<|G|故而H是G的非平凡子群）矛盾。因而此时a也是G的生成元。
H={1,a,a^2,…,a^(n-1)}当然就是G的非平凡子群了。
希望你能理解

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