已知直角三角形周长定值为L.求面积最大值

和这个题一样，自己转化一下吧
一个直角三角形，其周长定值为2，求它的面积的最大值。
设
直角三角形三边a,b,c
a+b+c=2,a^2+b^2=c^2,a+b=2-c(a+b)^2=(2-c)^2
a^2+b^2+2ab=4-4c+c^2
c=1-ab/2,1-ab/2>0,ab<2
2=a+b+c=(a+b)+1-ab/2≥2√ab+1-ab/2
ab-4√ab+2≥0,
√ab≥2+√2,（与ab<2矛盾）或√ab≤2-√2
所以，√ab≤2-√2,
ab≤6-4√2
它的面积S=ab/2≤3-2√2
它的面积的最大值=3-2√2

解：设直角边a、b，斜边c，周长l。则
a+b+c=l③
a²+b²=c²②
S=1/2ab①
③得，c=l-a-b④
代入②得，a²+b²=l²-2(a+b)l+a²+b²+2ab
l²-2(a+b)l+2ab=0
2(a+b)l=l²+2ab≥4√(ab)l⑤
①得，ab=2S
∴l²+4S≥4√(2S)l
2(√2S)²-4(√2S)l+l²≥0
∴(2-√2)/2l≤√2S≤(2+√2)/2l
∴最大S时，√（2S)=（2+√2）/2l
∴S=(3+2√2)/4l²

面积最值问题