如题所述
椭圆的方程的求法是解析几何中的一个重要内容，求椭圆的方程的主要方法有直接法、定义法、代入法，下面分类举例说明之。
一、直接法
直接从条件中获取信息，建立方程求椭圆的方程。
例1．已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程。
解：设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．
点评：本题考查了椭圆中的基本量的关系，列出方程即能获解。此类问题常常出现在高考的解答题中的第一问，考查同学们对基础知识的掌握。
二、定义法
利用椭圆的定义，到两个定点的距离之和为定值或到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（此数大于零小于1），就可以得到所求的椭圆的方程。
例2.已知ΔABC中，ÐA,ÐB,ÐC所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程.
解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2,
∴椭圆方程为,
又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,
因此点C的轨迹方程是：(─2<x<0)
点评：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.本题在求出了方程以后讨论x的取值范围，实际上就是考虑条件的必要性
三、代入法
若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标代入已知曲线方程，即得P的轨迹方程，这种方法称为代入法（或相关点法）。
例3．已知向量a=(1,1), b=(1,0),c满足a·c=0且|a|=|c|, b·c>0。
（1）求向量c；
（2）若映射f(x,y)→(x′,y′)=xa+2yc，若将P(x,y)看作点的坐标，点(x′,y′)在圆x2+y2=8上运动，求点P(x,y)的轨迹方程；
解：（1）设c=(x,y)，由题意有
∵b·c=x>0，∴c=(1,-1).
（2）由题意有：
f(x,y)=x(1,1)+2y(1,-1)=(x+2y,x-2y),
x′=x+2y, y′=x-2y
∵x′2+y′2=8,
∴(x+2y)2+(x-2y)2=8,
∴2x2+8y2=8,即x2+4y2=4，
P(x,y)轨迹方程为
点评：本题利用已知曲线（圆）来求出了所求曲线的方程，这种方法适应范围广泛，所用的数学思想是化归思想。
一、直接法
直接从条件中获取信息，建立方程求椭圆的方程。
例1．已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程。
解：设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．
点评：本题考查了椭圆中的基本量的关系，列出方程即能获解。此类问题常常出现在高考的解答题中的第一问，考查同学们对基础知识的掌握。
二、定义法
利用椭圆的定义，到两个定点的距离之和为定值或到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（此数大于零小于1），就可以得到所求的椭圆的方程。
例2.已知ΔABC中，ÐA,ÐB,ÐC所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程.
解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2,
∴椭圆方程为,
又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,
因此点C的轨迹方程是：(─2<x<0)
点评：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.本题在求出了方程以后讨论x的取值范围，实际上就是考虑条件的必要性
三、代入法
若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标代入已知曲线方程，即得P的轨迹方程，这种方法称为代入法（或相关点法）。
例3．已知向量a=(1,1), b=(1,0),c满足a·c=0且|a|=|c|, b·c>0。
（1）求向量c；
（2）若映射f(x,y)→(x′,y′)=xa+2yc，若将P(x,y)看作点的坐标，点(x′,y′)在圆x2+y2=8上运动，求点P(x,y)的轨迹方程；
解：（1）设c=(x,y)，由题意有
∵b·c=x>0，∴c=(1,-1).
（2）由题意有：
f(x,y)=x(1,1)+2y(1,-1)=(x+2y,x-2y),
x′=x+2y, y′=x-2y
∵x′2+y′2=8,
∴(x+2y)2+(x-2y)2=8,
∴2x2+8y2=8,即x2+4y2=4，
P(x,y)轨迹方程为
点评：本题利用已知曲线（圆）来求出了所求曲线的方程，这种方法适应范围广泛，所用的数学思想是化归思想。
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