若A等于α乘以β的转置加上β乘以α的转置，其中α，β是三维正交向量 证明：|A|=0。α+β，α-β是A的特

(1) 因为 r(A) = r(αβ'+βα') <= r(αβ')+r(βα') <= 1+1=2.
而 A是3阶方阵, 所以 |A| = 0.

(2) A(α+β) = (αβ'+βα')(α+β)
= αβ'α + αβ'β + βα'α + βα'β
由α,β是正交向量, 所以 α'β = β'α = 0
所以 A(α+β) = αβ'β + βα'α
?? α,β不是单位向量? 还有其他条件没 ??追问

是单位向量

追答

这就对了
此时 β'β =1, α'α = 1
所以 A(α+β) = αβ'β + βα'α = A(α+β) = α + β, 故 α + β是A的属于特征值 1 的特征向量.
同理可得 A(α-β) = -(α-β) , 故 α-β 是A的属于特征值 -1 的特征向量.
(3)由上结论知3阶对称矩阵A有3个不同的特征值, 故A与对角矩阵diag(0,1,-1)相似

来自：求助得到的回答

温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考

当前网址：https://verywind.cn/ee/e3vejyjvv.html