如图过原点O且半径为5的○P交x轴于点M(2m,0)交y轴的负半轴于点D,弧OBM与弧OAM关于X轴对称。其中A.B.C是过点P且垂直于X轴的直线与两弧及圆的交点,以B为顶点且过点D的抛物线交圆P于点E问:是否存在实数m,使得以B.C.D.E为顶点的四边形组成菱形?若存在求m的值;若不存在请说明理由
解:
由已知(圆P过原点并交于y轴负半轴),知道y_P<0。其中y_P表示P的纵坐标。
设∠OPA=α,则可知m=Rsinα,其中R=5。
由已知,显然D,E关于直线BC对称,故只需说明是否存在m,使得y_D=(y_B+y_C)/2即可。
根据已知条件,容易求得以下线段的长度:
|OM|=2Rsinα
|OD|=2Rcosα
PA=PC=5
点的坐标:
D=(0, -2Rcosα)
P=(-Rsinα, -Rcosα)——设y_P=-Rcosα
A=(-Rsinα, y_P+R)
B=(m, -y_P-R)(因为关于x轴对称)
C=(m, y_P-R)
所以(y_B+y_C)/2=-R=y_D,从而-2Rcosα=-R,α=π/3。此时m=Rsinα=5√3/2。
容易证明,此时确有BDCE为菱形。
由已知(圆P过原点并交于y轴负半轴),知道y_P<0。其中y_P表示P的纵坐标。
设∠OPA=α,则可知m=Rsinα,其中R=5。
由已知,显然D,E关于直线BC对称,故只需说明是否存在m,使得y_D=(y_B+y_C)/2即可。
根据已知条件,容易求得以下线段的长度:
|OM|=2Rsinα
|OD|=2Rcosα
PA=PC=5
点的坐标:
D=(0, -2Rcosα)
P=(-Rsinα, -Rcosα)——设y_P=-Rcosα
A=(-Rsinα, y_P+R)
B=(m, -y_P-R)(因为关于x轴对称)
C=(m, y_P-R)
所以(y_B+y_C)/2=-R=y_D,从而-2Rcosα=-R,α=π/3。此时m=Rsinα=5√3/2。
容易证明,此时确有BDCE为菱形。
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第1个回答 2019-08-05
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试题
已知如图,过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M(2m,0)、交y轴的负半轴于点D,弧OBM与弧OAM关于x轴对称,其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点.
(1)当m=4时,
①填空:B的坐标为
(4,-2)(4,-2),C的坐标为
(4,-8)(4,-8),D的坐标为
(0,-6)(0,-6);
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E,求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标;
③除D点外,直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由.
(2)是否存在实数m,使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.考点:二次函数综合题.专题:开放型.分析:(1)①可连接OP,PM,设AC与OM交于N,那么在直角三角形OPN中,OP=5,ON=m=4.
因此PN=3,AN=BN=2,CN=PC+PN=8,因此A,B,C的坐标分别为(4,2),(4,-2),(4,-8).
同理过P作OD的垂线,根据垂径定理即可得出OD=2PN=6,因此D点的坐标为(0,-6).
②可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式,然后将D点的坐标代入即可求出抛物线的解析式.根据圆和抛物线的对称性可知:E点和D点关于抛物线的对称轴x=4对称,因此根据D的坐标即可求出E点的坐标.
③可用待定系数法求出直线AD的解析式,然后联立抛物线的解析式即可判断出直线AD与抛物线是否有另外的交点.
(2)如果以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直平分,如果设BC,DE的交点为F,那么BF=CF,可用A点的纵坐标即AN的长表示出BF和CF由此可求出A点的纵坐标,进而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值.解答:解:
(1)①B(4,-2)C(4,-8)D(0,-6)
②设抛物线的解析式为y=a(x-4)
2
-2,已知抛物线过D点,
因此-6=a(x-4)
2
-2,
解得a=-
1
4
.
抛物线的函数关系式为:y=-
1
4
(x-4)
2
-2.
根据对称可知:E(8,-6)
③直线AD:y=2x-6,
把y=2x-6代入y=-
1
4
(x-4)
2
-2,
整理得:x
2
=0,得x
1
=x
2
=0
∴除D点外,直线AD与②中的抛物线无其它公共点.
(2)设A(m,h),则B的坐标为(m,-h),C的坐标为(m,h-10).
假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形,则DE与BC互相垂直平分,
设DE与BC相交于点F,于是BF=CF=
1
2
AB.
∴10-3h=h即h=
5
2
∴AB=5
∴B、P两点重合
∴OB=m=
OP2-h2
=
52-(
5
2
)2
=
5
2
3
.
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试题
已知如图,过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M(2m,0)、交y轴的负半轴于点D,弧OBM与弧OAM关于x轴对称,其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点.
(1)当m=4时,
①填空:B的坐标为
(4,-2)(4,-2),C的坐标为
(4,-8)(4,-8),D的坐标为
(0,-6)(0,-6);
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E,求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标;
③除D点外,直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由.
(2)是否存在实数m,使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.考点:二次函数综合题.专题:开放型.分析:(1)①可连接OP,PM,设AC与OM交于N,那么在直角三角形OPN中,OP=5,ON=m=4.
因此PN=3,AN=BN=2,CN=PC+PN=8,因此A,B,C的坐标分别为(4,2),(4,-2),(4,-8).
同理过P作OD的垂线,根据垂径定理即可得出OD=2PN=6,因此D点的坐标为(0,-6).
②可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式,然后将D点的坐标代入即可求出抛物线的解析式.根据圆和抛物线的对称性可知:E点和D点关于抛物线的对称轴x=4对称,因此根据D的坐标即可求出E点的坐标.
③可用待定系数法求出直线AD的解析式,然后联立抛物线的解析式即可判断出直线AD与抛物线是否有另外的交点.
(2)如果以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直平分,如果设BC,DE的交点为F,那么BF=CF,可用A点的纵坐标即AN的长表示出BF和CF由此可求出A点的纵坐标,进而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值.解答:解:
(1)①B(4,-2)C(4,-8)D(0,-6)
②设抛物线的解析式为y=a(x-4)
2
-2,已知抛物线过D点,
因此-6=a(x-4)
2
-2,
解得a=-
1
4
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抛物线的函数关系式为:y=-
1
4
(x-4)
2
-2.
根据对称可知:E(8,-6)
③直线AD:y=2x-6,
把y=2x-6代入y=-
1
4
(x-4)
2
-2,
整理得:x
2
=0,得x
1
=x
2
=0
∴除D点外,直线AD与②中的抛物线无其它公共点.
(2)设A(m,h),则B的坐标为(m,-h),C的坐标为(m,h-10).
假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形,则DE与BC互相垂直平分,
设DE与BC相交于点F,于是BF=CF=
1
2
AB.
∴10-3h=h即h=
5
2
∴AB=5
∴B、P两点重合
∴OB=m=
OP2-h2
=
52-(
5
2
)2
=
5
2
3
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