如图过原点O且半径为5的○P交x轴于点M（2m，0）交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于X轴对称。其中A.B.C是过点P且垂直于X轴的直线与两弧及圆的交点，以B为顶点且过点D的抛物线交圆P于点E问：是否存在实数m，使得以B.C.D.E为顶点的四边形组成菱形？若存在求m的值；若不存在请说明理由
解：
由已知（圆P过原点并交于y轴负半轴），知道y_P<0。其中y_P表示P的纵坐标。
设∠OPA=α，则可知m=Rsinα，其中R=5。
由已知，显然D，E关于直线BC对称，故只需说明是否存在m，使得y_D=(y_B+y_C)/2即可。
根据已知条件，容易求得以下线段的长度：
|OM|=2Rsinα
|OD|=2Rcosα
PA=PC=5
点的坐标：
D=(0, -2Rcosα)
P=(-Rsinα, -Rcosα)——设y_P=-Rcosα
A=(-Rsinα, y_P+R)
B=(m, -y_P-R)（因为关于x轴对称）
C=(m, y_P-R)
所以(y_B+y_C)/2=-R=y_D，从而-2Rcosα=-R，α=π/3。此时m=Rsinα=5√3/2。
容易证明，此时确有BDCE为菱形。
由已知（圆P过原点并交于y轴负半轴），知道y_P<0。其中y_P表示P的纵坐标。
设∠OPA=α，则可知m=Rsinα，其中R=5。
由已知，显然D，E关于直线BC对称，故只需说明是否存在m，使得y_D=(y_B+y_C)/2即可。
根据已知条件，容易求得以下线段的长度：
|OM|=2Rsinα
|OD|=2Rcosα
PA=PC=5
点的坐标：
D=(0, -2Rcosα)
P=(-Rsinα, -Rcosα)——设y_P=-Rcosα
A=(-Rsinα, y_P+R)
B=(m, -y_P-R)（因为关于x轴对称）
C=(m, y_P-R)
所以(y_B+y_C)/2=-R=y_D，从而-2Rcosα=-R，α=π/3。此时m=Rsinα=5√3/2。
容易证明，此时确有BDCE为菱形。
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2019-08-05
更多试题
》
试题
已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．
（1）当m=4时，
①填空：B的坐标为
（4，-2）（4，-2），C的坐标为
（4，-8）（4，-8），D的坐标为
（0，-6）（0，-6）；
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；
③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．
（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：开放型．分析：（1）①可连接OP，PM，设AC与OM交于N，那么在直角三角形OPN中，OP=5，ON=m=4．
因此PN=3，AN=BN=2，CN=PC+PN=8，因此A，B，C的坐标分别为（4，2），（4，-2），（4，-8）．
同理过P作OD的垂线，根据垂径定理即可得出OD=2PN=6，因此D点的坐标为（0，-6）．
②可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将D点的坐标代入即可求出抛物线的解析式．根据圆和抛物线的对称性可知：E点和D点关于抛物线的对称轴x=4对称，因此根据D的坐标即可求出E点的坐标．
③可用待定系数法求出直线AD的解析式，然后联立抛物线的解析式即可判断出直线AD与抛物线是否有另外的交点．
（2）如果以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直平分，如果设BC，DE的交点为F，那么BF=CF，可用A点的纵坐标即AN的长表示出BF和CF由此可求出A点的纵坐标，进而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．解答：解：
（1）①B（4，-2）C（4，-8）D（0，-6）
②设抛物线的解析式为y=a（x-4）
2
-2，已知抛物线过D点，
因此-6=a（x-4）
2
-2，
解得a=-
1
4
．
抛物线的函数关系式为：y=-
1
4
（x-4）
2
-2．
根据对称可知：E（8，-6）
③直线AD：y=2x-6，
把y=2x-6代入y=-
1
4
（x-4）
2
-2，
整理得：x
2
=0，得x
1
=x
2
=0
∴除D点外，直线AD与②中的抛物线无其它公共点．
（2）设A（m，h），则B的坐标为（m，-h），C的坐标为（m，h-10）．
假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，则DE与BC互相垂直平分，
设DE与BC相交于点F，于是BF=CF=
1
2
AB．
∴10-3h=h即h=
5
2
∴AB=5
∴B、P两点重合
∴OB=m=
OP2-h2
=
52-(
5
2
)2
=
5
2
3
．
》
试题
已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．
（1）当m=4时，
①填空：B的坐标为
（4，-2）（4，-2），C的坐标为
（4，-8）（4，-8），D的坐标为
（0，-6）（0，-6）；
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；
③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．
（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：开放型．分析：（1）①可连接OP，PM，设AC与OM交于N，那么在直角三角形OPN中，OP=5，ON=m=4．
因此PN=3，AN=BN=2，CN=PC+PN=8，因此A，B，C的坐标分别为（4，2），（4，-2），（4，-8）．
同理过P作OD的垂线，根据垂径定理即可得出OD=2PN=6，因此D点的坐标为（0，-6）．
②可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将D点的坐标代入即可求出抛物线的解析式．根据圆和抛物线的对称性可知：E点和D点关于抛物线的对称轴x=4对称，因此根据D的坐标即可求出E点的坐标．
③可用待定系数法求出直线AD的解析式，然后联立抛物线的解析式即可判断出直线AD与抛物线是否有另外的交点．
（2）如果以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直平分，如果设BC，DE的交点为F，那么BF=CF，可用A点的纵坐标即AN的长表示出BF和CF由此可求出A点的纵坐标，进而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．解答：解：
（1）①B（4，-2）C（4，-8）D（0，-6）
②设抛物线的解析式为y=a（x-4）
2
-2，已知抛物线过D点，
因此-6=a（x-4）
2
-2，
解得a=-
1
4
．
抛物线的函数关系式为：y=-
1
4
（x-4）
2
-2．
根据对称可知：E（8，-6）
③直线AD：y=2x-6，
把y=2x-6代入y=-
1
4
（x-4）
2
-2，
整理得：x
2
=0，得x
1
=x
2
=0
∴除D点外，直线AD与②中的抛物线无其它公共点．
（2）设A（m，h），则B的坐标为（m，-h），C的坐标为（m，h-10）．
假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，则DE与BC互相垂直平分，
设DE与BC相交于点F，于是BF=CF=
1
2
AB．
∴10-3h=h即h=
5
2
∴AB=5
∴B、P两点重合
∴OB=m=
OP2-h2
=
52-(
5
2
)2
=
5
2
3
．
