请教高手，一道数论难题

原题肯定有问题.
要使(p-a[i])/|a[i]|为整数, a[i]必须整除p.
又|a[i]| < p/2, 故只有a[i] = ±1.
但对素数p > 3来说, p+1和p-1作为偶数, 都不可能是3的正整数次幂.

可以证明这样的结论:
存在若干整数-p/2 < a[1] < a[2] < ... < a[t] < p/2,
且对任意i = 1, 2,..., t, 总存在j, 使(p-a[i])/|a[j]|是3的正整数次幂.

这个结论的证明不难.
由p是大于3的素数, 有p ≡ ±1 (mod 3).
取b[1] = 1或-1, 使p ≡ b[1] (mod 3).
则p-b[1]被3整除, 可设p-b[1]被3^k (k ≥ 1)恰好整除(即被3^k整除而不被3^(k+1)整除).
(p-b[1])/3^k是一个不被3整除的整数, 有(p-b[1])/3^k ≡ ±1 (mod 3).
取b[2] = (p-b[1])/3^k或-(p-b[1])/3^k, 使p ≡ b[2] (mod 3).
由k ≥ 1, 有|b[2]| = (p-b[1])/3^k ≤ (p+1)/3 < (p+p/2)/3 = p/2.
且(p-b[1])/|b[2]| = 3^k是3的正整数次幂.

由p-b[2]被3整除, 可设p-b[2]被3^m恰好整除(m ≥ 1).
类似有(p-b[2])/3^m ≡ ±1 (mod 3).
取b[3] = (p-b[2])/3^m或-(p-b[2])/3^m, 使p ≡ b[3] (mod 3).
由m ≥ 1, 有|b[3]| = (p-b[2])/3^m < (p+p/2)/3 = p/2.
且(p-b[2])/|b[3]| = 3^m是3的正整数次幂.

依此类推, 得到一列整数b[1], b[2],...
满足-p/2 < b[i] < p/2, 且(p-b[i])/|b[i+1]|是3的正整数次幂.
由于(-p/2,p/2)中只有有限个整数, 数列中必有重复项.
设i < j使得b[i] = b[j], 且在b[i]与b[j]之间无其它重复项.
将b[i], b[i+1],..., b[j-1]由小到大排成一列, 依次记为a[1], a[2],..., a[t].
可知这列a[1], a[2],..., a[t]即满足要求.

注1: 其实b[1]不必非要取为±1, 只要是(-p/2,p/2)中一个与p mod 3同余的整数即可.
注2: 这个结论并未用到p是素数, 只要p > 3且不被3整除即可.
注3: 其实可以证明首次出现的重复项必定是和b[1]相等, b[1], b[2],...是一个周期数列.
注4: 根据b[1]的不同选择, 得到的a[1], a[2],..., a[t]可以是不同的.
例如p = 13, 可以有1, 4和-2, -5两种取法.

这样改过的题目也许过于简单了.
如果你查到原题的确切表述, 欢迎继续追问.

温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考

当前网址：https://verywind.cn/ee/e7j3yr7rj7fx37j32f2.html