(1)判断2是否为模1033的一个平方？
(2)判断方程x2=119 mod 1009是否有解？
(3)判定3是不是模2009的一个平方？
(1) 1033是素数，且1033≡1 (mod8)
∴(2/1033)=1 即2是模1033的一个二次剩余
(2) 1009是素数，且1009≡1 (mod4)
∴(119/1009)=(7/1009)(17/1009)
=(1009/7)(1009/17)=(1/7)(6/17)=(2/17)(3/17)
而17≡1 (mod8)，∴(2/17)=1
(3/17)=(17/3)=(2/3)=-1
∴(119/1009)=-1，即x²≡119 mod(1009) 无解
(3) 2009=7²*41，∴若3是模2009的一个平方
则3也是模41的一个平方，而41≡1 (mod4)
∴(3/41)=(41/3)=(2/3)=-1，矛盾
∴3不是模2009的一个平方
∴(2/1033)=1 即2是模1033的一个二次剩余
(2) 1009是素数，且1009≡1 (mod4)
∴(119/1009)=(7/1009)(17/1009)
=(1009/7)(1009/17)=(1/7)(6/17)=(2/17)(3/17)
而17≡1 (mod8)，∴(2/17)=1
(3/17)=(17/3)=(2/3)=-1
∴(119/1009)=-1，即x²≡119 mod(1009) 无解
(3) 2009=7²*41，∴若3是模2009的一个平方
则3也是模41的一个平方，而41≡1 (mod4)
∴(3/41)=(41/3)=(2/3)=-1，矛盾
∴3不是模2009的一个平方
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第1个回答 2013-12-10
是
是
不是
是
不是
