三角形ABC的三边长BC=a,AC=b,AB=c,若三顶点A,B,C对于某定点O的位置向量m，n，w，且am+bn+cw=0,则点O是三角

三角形ABC的三边长BC=a,AC=b,AB=c,若三顶点A,B,C对于某定点O的位置向量m，n，w，且am+bn+cw=0,则点O是三角形的内心。

am+bn+cw=0即aOA+bOB+cOC=0
aOA+b(AB-AO)+c(AC-AO)=0
整理得(a+b+c)AO= b AB+c AC
AO=b/(a+b+c) AB+c(a+b+c) AC
这说明直线AO是角A的平分线，
同理可证BO、CO也是角平分线。
所以点O是三角形的内心。

另外，这是一个充要条件，还有下面的结论成立：
已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 则aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量)

证明：设三角形ABC，AD为BC边上的角平分线，内心为O。
|BC|=a，|AC|=b，|AB|=c
aOA+bOB+cOC
=aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA)
=(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)
设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|
又由角平分线定理，|DB|/|DC|=c/b，所以bDB+cDC=0
(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)OA- b DA- c DA =aOA+(b+c)OD
又因为OA、OD反向，用角平分线定理和合比定理：
b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a, b/CD=OA/OD,
所以OA/OD=(b+c)/a , 又因为OA、OD反向，
故aOA+bOB+cOC=aOA+(b+c)OD =0.

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