如题所述
第一章 立体几何初步
一、平面的基本性质与推论
1、平面的基本性质:
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内;
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系:
直线与直线-平行、相交、异面;
直线与平面-平行、相交、直线属于该平面(线在面内,最易忽视);
平面与平面-平行、相交。
3、异面直线:
平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);
所成的角范围(0,90】度(平移法,作平行线相交得到夹角或其补角);
两条直线不是异面直线,则两条直线平行或相交(反证);
异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线所成的角:平移法,把异面问题转化为相交直线的夹角
二、空间中的平行关系
1、直线与平面平行(核心)
定义:直线和平面没有公共点
判定:不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,则该直线平行于此平面(由线线平行得出)
性质:一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线就和两平面的交线平行
2、平面与平面平行
定义:两个平面没有公共点
判定:一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,则这两个平面平行
性质:两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线
三、空间中的垂直关系
1、直线与平面垂直
定义:直线与平面内任意一条直线都垂直
判定:如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直,则该直线与此平面垂直
性质:垂直于同一直线的两平面平行
推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面
直线和平面所成的角:【0,90】度,平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角,特别规定垂直90度,在平面内或者平行0度
2、平面与平面垂直
定义:两个平面所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角)
判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
性质:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
第二章 平面解析几何初步
一、直线方程
直线的倾斜角:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0,范围:
k:斜率, :倾斜角,关系: 时,斜率不存在,k范围R
任一直线都有倾斜角,但斜率不一定存在;注意正切函数图像,数形结合
在直线l上,且 ,则l的斜率
两直线平行:说明两直线倾斜角相等,斜率相等或都不存在;注意区分重合
两直线垂直:两直线斜率相乘为-1,或者一个斜率为0一个不存在
直线的方程形式:点斜式(适用:与x轴不垂直的直线)、两点式(适用:与两坐标轴均不垂直的直线)、斜截式(适用:与x轴不垂直的直线)、截距式(适用:不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线),一般式,只有一般式表示所有直线
对于两直线
两点间距离公式:
点到直线距离公式:平面上任一一点 到直线 的距离
对于两平行直线 间的距离
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