如题所述
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和;即:设函数 及
的原函数存在,则
2、求不定积分时,被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即:设函数 的原函数存在,
非零常数,则
扩展资料:
如果f(x)在区间I上有原函数,即有一个函数F(x)使对任意x∈I,都有F'(x)=f(x),那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C,函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I,G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数,所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时,表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
由此可知,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即∫f(x)dx=F(x)+C。
因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。
温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答 2014-09-12
∫e^(-x^2)dx=(-1/2)∫de^(-x^2)/x=(-1/2)e^(-x^2)/x -(1/2)∫e^(-x^2)dx/x^2
=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3+(1/4)∫e^(-x^2)d(1/x^3)
=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)∫e^(-x^2)d(1/x^4)
x^2=t ∫e^(-x^2)d(1/x^4)
=∫e^(-t)d(1/t^2)=e^(-t)/t^2+∫e^(-t)dt/t^2=e^(-t)/t^2-e^(-t)/t-∫e^(-t)dt/t
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+..+x^n/n!
e^(-t)=1+(-t)+(-t)^2/2!+(-t)^3/3!+..+(-t)^n/n!
∫e^(-t)dt/t=lnt-t -t^2/(2*2!)-t^3/(3*3!)-..-t^n/(n*n!)
所以
∫e^(-x^2)dx=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)e^(-x^2)/x^4-(1/8)e^(-x^2)/x^2-(1/8)[ln(x^2)-x^2-(x^2)^2/(2*2!)-(x^2)^3/(3*3!)-..-(x^2)^n/(n*n!)]
满意请采纳。本回答被网友采纳
=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3+(1/4)∫e^(-x^2)d(1/x^3)
=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)∫e^(-x^2)d(1/x^4)
x^2=t ∫e^(-x^2)d(1/x^4)
=∫e^(-t)d(1/t^2)=e^(-t)/t^2+∫e^(-t)dt/t^2=e^(-t)/t^2-e^(-t)/t-∫e^(-t)dt/t
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+..+x^n/n!
e^(-t)=1+(-t)+(-t)^2/2!+(-t)^3/3!+..+(-t)^n/n!
∫e^(-t)dt/t=lnt-t -t^2/(2*2!)-t^3/(3*3!)-..-t^n/(n*n!)
所以
∫e^(-x^2)dx=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)e^(-x^2)/x^4-(1/8)e^(-x^2)/x^2-(1/8)[ln(x^2)-x^2-(x^2)^2/(2*2!)-(x^2)^3/(3*3!)-..-(x^2)^n/(n*n!)]
满意请采纳。本回答被网友采纳
第2个回答 2014-09-12
第3个回答 2014-12-01
结果是:根号π分之2。这是Γ函数,不会打公式你去百度吧,同济大学高等数学第六版266页有详细介绍