设A、B、C分别是复数Z 0 =ai,Z 1 = 1 2 +bi,Z 2 =1+ci(其中a,b,c都是实数)对应的不共线的三点.证明:曲线:Z=Z 0 cos 4 t+2Z 1 cos 2 tsin 2 t+Z 2 sin 4 t (t∈R)与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点,并求出此点.
证明:曲线方程为:z=aicos 4 t+(1+2bi)cos 2 tsin 2 t+(1+ci)sin 4 t =(cos 2 tsin 2 t+sin 4 t)+i(acos 4 t+2bcos 2 tsin 2 t+csin 4 t) 所以x=cos 2 tsin 2 t+sin 4 t=sin 2 t(0≤x≤1) y=acos 4 t+2bcos 2 tsin 2 t+csin 4 t=a(1-x) 2 +2b(1-x)x+cx 2 即y=(a-2b+c)x 2 +2(b-a)x+a(0≤x≤1)① 若a-2b+c=0,则Z 0 、Z 1 、Z 2 三点共线,与已知矛盾,故a-2b+c≠0. 于是此曲线为对称轴与x轴垂直的抛物线. 设AB中点M: + (a+b)i ,BC中点N: + (b+c)i 与AC平行的中位线经过M ( , (a+b)) 及N ( , (b+c)) 两点, 其方程为4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0( ≤x≤ ), 令4(a-2b+c)x 2 +8(b-c)x+4a=4(c-a)x+3a+2b-c, 即4(a-2b+c)x 2 +4(2b-a-c)x+a-2b+c=0, 由a-2b+c=0,得4x 2 +4x+1=0,此方程在 [ , ] 内有唯一解 x= , 以 x= 代入①得 y= (a+2b+c) , 所以,所求公共点坐标为( , (a+2b+c) . |
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