设A、B、C分别是复数Z 0 =ai，Z 1 = 1 2 +bi，Z 2 =1+ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点．证明：曲线：Z=Z 0 cos 4 t+2Z 1 cos 2 tsin 2 t+Z 2 sin 4 t （t∈R）与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．
证明：曲线方程为：z=aicos 4 t+（1+2bi）cos 2 tsin 2 t+（1+ci）sin 4 t
=（cos 2 tsin 2 t+sin 4 t）+i（acos 4 t+2bcos 2 tsin 2 t+csin 4 t）
所以x=cos 2 tsin 2 t+sin 4 t=sin 2 t（0≤x≤1）
y=acos 4 t+2bcos 2 tsin 2 t+csin 4 t=a（1-x） 2 +2b（1-x）x+cx 2
即y=（a-2b+c）x 2 +2（b-a）x+a（0≤x≤1）①
若a-2b+c=0，则Z 0 、Z 1 、Z 2 三点共线，与已知矛盾，故a-2b+c≠0．
于是此曲线为对称轴与x轴垂直的抛物线．
设AB中点M： + (a+b)i ，BC中点N： + (b+c)i
与AC平行的中位线经过M ( ， (a+b)) 及N ( ， (b+c)) 两点，
其方程为4（a-c）x+4y-3a-2b+c=0（ ≤x≤ ），
令4（a-2b+c）x 2 +8（b-c）x+4a=4（c-a）x+3a+2b-c，
即4（a-2b+c）x 2 +4（2b-a-c）x+a-2b+c=0，
由a-2b+c=0，得4x 2 +4x+1=0，此方程在 [ ， ] 内有唯一解 x= ，
以 x= 代入①得 y= (a+2b+c) ，
所以，所求公共点坐标为（ ， (a+2b+c) ． |
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