如题所述
解:
分析:运用分离变量的方法!
不失一般性,令:
y' = f(x),
于是:
y'' = df(x)/dx
上式包含dx的微分变量,而原式中只含有y,因此,再变形:
y''
= df(x)/dx
= (df(x)/dy)·(dy/dx)
=(df(x)/dy)·f(x)
将上式带入到原方程中:
y³·(df(x)/dy)·f(x) - 1 =0
当y=0时,原方程显然不成立,即:y≠0,于是:
f(x)df(x) = dy/y³
该微分形式两边积分,则:
f(x)² = -1/y² + C',其中C'为常数
因此:
y' = f(x) = ±√(-1/y² + C')
即:
±dy/√(-1/y² + C') = dx
±ydy/√(C'y² -1) = dx
±d(C'y² -1)/√(C'y² -1) = 2C'dx
两边积分:
±√(C'y² -1)=C'x+C
因此:
C'y² -1 = (C'x+C)²
原微分方程的通解为:
C'y² - (C'x+C)² = 1
其中,C,C’为常数
分析:运用分离变量的方法!
不失一般性,令:
y' = f(x),
于是:
y'' = df(x)/dx
上式包含dx的微分变量,而原式中只含有y,因此,再变形:
y''
= df(x)/dx
= (df(x)/dy)·(dy/dx)
=(df(x)/dy)·f(x)
将上式带入到原方程中:
y³·(df(x)/dy)·f(x) - 1 =0
当y=0时,原方程显然不成立,即:y≠0,于是:
f(x)df(x) = dy/y³
该微分形式两边积分,则:
f(x)² = -1/y² + C',其中C'为常数
因此:
y' = f(x) = ±√(-1/y² + C')
即:
±dy/√(-1/y² + C') = dx
±ydy/√(C'y² -1) = dx
±d(C'y² -1)/√(C'y² -1) = 2C'dx
两边积分:
±√(C'y² -1)=C'x+C
因此:
C'y² -1 = (C'x+C)²
原微分方程的通解为:
C'y² - (C'x+C)² = 1
其中,C,C’为常数
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