如题所述
柯西不等式6个基本公式推导如下:
1. 向量的内积:向量 a 和 b 的内积可以表示为:
⟨a,b⟩=∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣⋅cos(θ)
其中,θ 表示向量 a 和 b 之间的夹角。
2. 向量的范数:向量 a 的范数可以表示为:
∣∣a∣∣=√(⟨a,a⟩)
3. 平方范数:向量 a 的平方范数可以表示为:
∣∣a∣∣2=⟨a,a⟩
4. 向量的夹角余弦:两个向量 a 和 b 的夹角余弦。
5. 柯西不等式的基本形式:根据夹角余弦的公式,我们可以得到柯西不等式的基本形式:
∣∣⟨a,b⟩∣≤∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣
这个不等式告诉我们,两个向量的内积的绝对值不会超过它们的范数之积。
6. 推导:现在,让我们来推导柯西不等式的基本形式。
首先,考虑一个实数 t,我们可以将向量 a 和 t * b 相加,并计算它的平方范数:
∣∣a−t∗b∣∣2
根据平方范数的定义,我们有:
∣∣a−t∗b∣∣2=⟨a−t∗b,a−t∗b⟩
利用内积的线性性质,可以将上式展开为:
⟨a−t∗b,a−t∗b⟩=⟨a,a⟩−2∗t∗⟨a,b⟩+t2∗⟨b,b⟩
接下来,考虑函数 f(t) = ||a - t * b||^2,我们可以看到它是 t 的二次函数。为了使 f(t) 取得最小值,我们可以求导并令导数等于零:
f′(t)=−2∗⟨a,b⟩+2∗t∗⟨b,b⟩=0
这个不等式在内积空间中具有广泛的应用,用于证明向量的正交性、向量之间的投影关系等等。它是线性代数中一个重要的基本结果。
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