椭圆焦点弦公式推导

椭圆焦点弦公式推导

推导椭圆焦点弦公式，我们首先需要设定椭圆的标准方程，然后设直线l过椭圆的右焦点，用直线的参数式来表示这条直线。接着，将直线的参数式代入到椭圆的标准方程中，经过整理后得到关于x的一元二次方程。求解这个一元二次方程，我们可以得到直线与椭圆的交点的横坐标。最后，利用两点之间的距离公式，我们就可以计算出焦点弦的长度。

拓展资料：

1、椭圆的标准方程为：(m²+n²)x²/a² + 2nx/b² + n²/c² = 1 (a>b>0, c²=a²-b²) 。

2、假设直线l过椭圆的右焦点F(c,0)，则可以设直线l的参数式为：x=my+c (m≠0) 。

3、将直线l的参数式代入到椭圆的标准方程中，得到：(m²+n²)(my+c)²/a² + 2n(my+c)/b² + n²/c² = 1 。

4、整理上式，得到关于x的一元二次方程：(m²+n²)y²+2mncy+n²-a²n²/a²b² = 0 。

5、求解上述一元二次方程，我们可以得到直线与椭圆的交点的纵坐标：y₁， y₂ = [-mnc±sqrt((m²n²-a²n²/a²b²)+m²n²c²)] / (m²+n²) 。

6、根据焦半径公式和焦点弦长公式，我们可以推导出焦点弦长公式为：|AB| = e·|y₁-y₂| = |emnc±sqrt((m²n²-a²n²/a²b²)+m²n²c²)| 。