1、已知非零向量AB与AC满足[(向量AB/|向量AB|)+ (向量AC/|向量AC|)·向量BC=0,且(向量AB/|向量AB|)·(向量AC/|向量AC|) =½ ,判断三角形ABC的形状。
2、在四边形ABCD中,BD是它的一条对角线,且 向量BC=λ倍向量AD(λ∈R),|向量AB|=|向量AD|=2,|向量CB―向量CD|=2倍根号3 ,
(1)、若三角形BCD为直角三角形,求λ的值;
(2)、在(1)的条件下,求 向量CB·向量BA 。
3、以原点和点(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠B=90°,求点B和向量AB 的坐标。
4、已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),点P在线段AB上,且 向量AP=t倍向量AB,(0≤t≤1),则向量OA·向量OP的最大值为_。
5、与向量a=(7/2,½)和向量b=(½,7/2)的夹角相等,且模为一的向量的坐标是_。
6、已知三点A(1,2),B(3,1),C(-1,0),试回答下列问题:
(1)、用坐标表示向量AB,并求它的模;
(2)、求使向量AB=向量CD的点D的 坐标;
(3)、设向量AB和向量AC的夹角为θ,求cosθ 的值;
(4)、求平行四边形ABCD的面积。
7、平面内向量OA=(1,7),向量OB=(5,1),向量OP=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点。
(1)、当向量QA·向量QB去取最小值时,求向量OQ 的坐标;
(2)、当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB 的值。
8、已知向量a,b为非零向量,当 向量a+t倍向量b (t∈R)的模取最小值时:
(1)、求t的值;
(2)、求证:向量b 与 向量a+t倍向量b 垂直。
9、已知AD 、BE、CF是三角形ABC的三条高,求证:AD 、BE、 CF相交于一点。
ä¸ï¼AB/ï½ABï½)•(AC/ï½ACï½) =½ ï¼å¤æä¸è§å½¢ABCçå½¢ç¶ã
(åé¢åæ¼å个ä¸æ¬å·)(AB/âABâ表ä¸åéABååçåä½åé,å ¶æ¨¡=1.å ¶ä½ç±»ä¼¼)
解:ï¼AB/ï½ABï½)•(AC/ï½ACï½)=1Ã1ÃcosA =½ ,æ A=60°
[ï¼AB/ï½ABï½ï¼+ (AC/ï½ACï½)]•BC=â(AB/ï½ABï½ï¼+ (AC/ï½ACï½)ââBCâcos(A/2+C)=0
å¾cos(A/2+C)=0æ A/2+C=90°,â´C=90°-60°/2=60°,
â³ABCæ¯çè¾¹â³.
2ãå¨å边形ABCDä¸ï¼BDæ¯å®çä¸æ¡å¯¹è§çº¿ï¼ä¸ BC=λ(AD)ï¼Î»âRï¼ï¼ï½ABï½=ï½ADï½=2ï¼
ï½CB-CDï½=2â3
ï¼1ï¼ãè¥ä¸è§å½¢BCD为ç´è§ä¸è§å½¢ï¼æ±Î»çå¼
ï¼2ï¼ãå¨ï¼1ï¼çæ¡ä»¶ä¸ï¼æ± CB•BA
解:(1) âCB-CDâ=âDBâ=2â3
å¨â³ABDä¸,âDBâ²=âADâ²+âABâ²-2âADââABâcosA
å³æ12=4+4-8cosA,æ cosA=-1/2, â´A=120°, â ABD=â ADB=30°
BC=λ(AD),æ BCâAD,ä¸âBCâ=λâADâ=2λ
â DBC=â ABC-â ABD=60°-30°=30°
â C=90°,æ âBCâ=2(â3)cos30°=3=2λ, â´Î»=3/2
(2)CB•BA=âCBââBAâcos120°=3Ã2Ã(-1/2)=-3
3ã以åç¹åç¹Aï¼5ï¼2ï¼ä¸ºé¡¶ç¹ä½çè °ç´è§ä¸è§å½¢OABï¼ä½¿â B=90°ï¼
æ±ç¹BååéAB çåæ ã
解:âOAâ=â29, OAä¸ç¹M(5/2, 1), 以M为åå¿,以âOAâ/2=(â29)/2为åå¾ä½åM:
M: (x-5/2)²+(y-1)²=29/4
è¿Mä½OAçåç´çº¿: y=-(5/2)(x-5/2)+1=-(5/2)x+29/4,ä»£å ¥åMçæ¹ç¨,åç®å¾
4x²-20x+21=(2x-7)(2x-3)=0
解å¾x₁=3.5, x₂=1.5.
äºæ¯y₁=-1.5, y₂=3.5
å³B₁(3.5, -1.5); B₂(1.5, 3.5)
åéAB₁=-1.5i - 3.5j
åéAB₁=-3.5i +1.5j
4ãå·²ç¥OãAãBä¸ç¹çåæ åå«ä¸ºO(0ï¼0)ï¼A(3ï¼0)ï¼Bï¼0ï¼3ï¼ï¼ç¹På¨çº¿æ®µABä¸ï¼
ä¸ åéAP=tååéABï¼ï¼0â¤tâ¤1ï¼ï¼ååéOA•åéOPçæ大å¼ä¸ºï¼¿ã
解:OA•OP=âOAââOPâcosâ AOPâ¤âOAâ²=9
å½t=0å³Pç¹ä¸Aç¹éåæ¶OA•OPè·å¾æ大å¼9.
5ãä¸åéa=ï¼7/2ï¼½ï¼ååéb=ï¼½ï¼7/2ï¼ç夹è§ç¸çï¼ä¸æ¨¡ä¸º1çåéçåæ æ¯ï¼¿ã
解:ä¸åéaååçåä½åéa°=a/âaâ=a/(25/2)=2a/25
ä¸åébååçåä½åéb°=b/âbâ=b/(25/2)=2b/25
a°ä¸b°çååéc=a°+b°=(2/25)(a+b)
åécå¹³æ¹åéaåbçæ¶è§.
ä¸åécååçåä½åéc°=c/âcâ=c/(2/25)â2=(a+b)/â2=(â2)a/2+(â2)b/2
æ ä¸åéa,b夹è§ç¸ççåä½åéc°çåæ 为(â2/2, â2/2)
6ãå·²ç¥ä¸ç¹A(1ï¼2)ï¼Bï¼3ï¼1ï¼ï¼Cï¼-1ï¼0ï¼ï¼è¯åçä¸åé®é¢ï¼
ï¼1ï¼ãç¨åæ 表示åéABï¼å¹¶æ±å®ç模ï¼
ï¼2ï¼ãæ±ä½¿åéAB=åéCDçç¹Dç åæ ï¼
ï¼3ï¼ã设åéABååéACç夹è§ä¸ºÎ¸ï¼æ±cosθ çå¼ï¼
ï¼4ï¼ãæ±å¹³è¡å边形ABCDçé¢ç§¯ã
解:(1)AB=(3-1, 1-2)=(2, -1), âABâ=â[2²+(-1)²]=â5
(2)设D(x, y),åCD=(x+1, y-0)=(2, -1)
å ¶ä¸x+1=2, x=1, y=-1,æ D(1,-1)
(3)AC=(-2, -2)
ABæå¨ç´çº¿çæçk₂=-1/2; ACæå¨ç´çº¿çæçk₁=1
æ ä»ACå°ABç夹è§Î¸çæ£åtanθ=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂)=(-1/2-1)/(1-1/2)=-3
äºæ¯å¾cosθ=-1/â(1+tan²Î¸)=-1/â10, sinθ=â(1-1/10)=3/â10,
(4)平形åè¾¹ABCDçé¢ç§¯S=âABââACâsinθ=(â5)Ã(â8)Ã(3/â10)=6
7ãå¹³é¢å åéOA=ï¼1ï¼7ï¼ï¼åéOB=ï¼5ï¼1ï¼ï¼åéOP=ï¼2ï¼1ï¼ï¼ç¹Q为ç´çº¿OP
ä¸çä¸ä¸ªå¨ç¹ã
ï¼1ï¼ãå½åéQA•åéQBåæå°å¼æ¶ï¼æ±åéOQ çåæ ï¼
ï¼2ï¼ãå½ç¹Q满足ï¼1ï¼çæ¡ä»¶åç»è®ºæ¶ï¼æ±cosâ AQB çå¼ã
解:(1)Qå¨OPä¸,æ å¯è®¾Qçåæ 为(2y,y),å ¶ä¸0â¤yâ¤1.
QB=(5-2y, 1-y), QA=(1-2y, 7-y)
QA•QB=(5-2y)(1-2y)+(1-y)(7-y)=5y²-20y+12=5(y-2)²-8
å½y=1æ¶QA•QBè·å¾æå°å¼(-3)
(2)æ¤æ¶Q(2, 1), QB=(3, 0); QA=(-1, 6)
cosâ AQB=QA•QB/âQAââQBâ=-3/(3â37)=-1/â37.
8ãå·²ç¥åéaï¼b为éé¶åéï¼å½ åéa+tååéb ï¼tâRï¼ç模åæå°å¼æ¶ï¼
ï¼1ï¼ãæ±tçå¼ï¼
ï¼2ï¼ãæ±è¯ï¼åéb ä¸ åéa+tååéb åç´ã
解:(1)为使é®é¢ç®å,åa,bç交ç¹Oä½åæ åç¹,åébå¨xè½´ä¸ä¸ä¸xè½´åå,aå¨ç¬¬ä¸è±¡é
å ,aäºbç夹è§ä¸ºéè§.äºæ¯å¯è®¾a=(m,n), b=(k,0), (mï¼0, nï¼0, kï¼0)
a+tb=(m+tk, n)
âa+tbâ=â[(m+kt)²+n²]=â(k²t²+2mkt+m²+n²)=â[k²(t+m/k)²+n²]â¥n
å½t=-m/kæ¶çå·æç«,æ¤æ¶âa+tbâmin=n, a+tb=(0, n)
(2)b•(a+tb)=kÃ0+0Ãn=0,åb•(a+tb)=âbââa+tbâcosθ=0
å ¶ä¸Î¸ä¸ºaä¸a+tbç夹è§,âbââ 0, âa+tbââ 0,æ å¿ æcosθ=0,å³Î¸=90°
ä¹å°±æ¯bâ¥(a+tb), æ è¯.
9ãå·²ç¥AD ãBEãCFæ¯ä¸è§å½¢ABCçä¸æ¡é«ï¼æ±è¯ï¼AD ãBEã CFç¸äº¤äºä¸ç¹ã
解:æ¤é¢ç¨ç¢é好åä¸å¥½è¯.ä½ ççåçå ä½å§.ä¸åå«ä¸æ¬¡æè¿ä¹å¤é®é¢,太费æ¶é´äº!