随机变量x服从二项分布B（n,p）,求随机变量Y=e^(kX)的数学期望和方差？

X -- B(n, p) P(x) = C(n, x) p^x (1-p) ^(n-x)
Y = e ^ (kx)
E(Y) = 所有的y求和Σ y * P(y)
= 所有的x求和Σ e ^ (kx) * P(x）
= 所有的x求和Σ e ^ (kx) * [C(n, x) p^x * (1-p) ^(n-x)]
= 所有的x求和Σ C(n, x) * (p* e^k)^ x * (1-p)^(n-x)
把 e ^(kx) 写成 (e^k)^x 再和 p ^ x 合并，组成一个新的 二项式，
也就是看成C(n, x) * A^ x *B^(n-x)的形式 而C(n, x) * A^ x *B^(n-x)=（A+B）^n （二项式定理）
所以 =(e^k * p + (1 - p))^ n
D(Y) = E(Y^2) - E(Y)^2
E(Y^2) = E(e^2kx) =(e^2k * p + (1 - p))^ n
E(Y)^2 = (e^k * p + (1 - p))^ 2n
代入化简即得。

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