求幂级数∑(∞ ,n=0)x^n/n+1的收敛半径及收敛域

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n(n+1)/[(n+1)(n+2)]=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。

又lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<1，即-1<x<1。

而当x=-1时，是交错级数，级数为∑(-1)^n/[n(n+1)]≤∑1/[n(n+1)，而后者收敛；当x=1时，收敛。

∴收敛区间为-1≤x≤1，即x∈[-1,1]。

将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：

一个中心为 a的幂级数 f的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。

到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。

最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数

扩展资料

如果幂级数在 a附近可展，并且收敛半径为 r，那么所有满足 |z a| = r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。

例 1: 函数 (z) = (1 z) 在z= 0 处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。

例 2: 函数 g(z) = ln(1 z) 在z= 0 处展开的幂级数收敛半径为1，在z= 1 处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数 (z) 是 -g(z) 的复导数。