如题所述
有关系。如果λ是A的一个特征值，那么1/λ是A^(-1)的一个特征值。
证明如下：设λ是A的特征值，x是λ对应的特征向量，则Ax=λx，两边左乘A^(-1)有x=A^(-1)·λx，即λA^(-1)x=x。λ显然不为0，否则x为0，而特征向量不能为零向量。因此A^(-1)x=(1/λ)x，由特征值的定义可知1/λ是A^(-1)的一个特征值。
从证明过程还可以看出：如果x是A的特征值λ对应的一个特征向量，那么x也是A^(-1)的特征值1/λ对应的一个特征向量。
扩展资料：
设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。可逆矩阵一定是方阵。如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
参考资料来源：百度百科——逆矩阵
有以下关系：如果λ是A的一个特征值，那么1/λ是A^(-1)的一个特征值。
证明如下：设λ是A的特征值，x是λ对应的，则Ax=λx，两边左乘A^(-1)有x=A^(-1)·λx，即λA^(-1)x=x。λ显然不为0，否则x为0，而特征向量不能为。因此A^(-1)x=(1/λ)x，由特征值的定义可知1/λ是A^(-1)的一个特征值。
从证明过程还可以看出：如果x是A的特征值λ对应的一个特征向量，那么x也是A^(-1)的特征值1/λ对应的一个特征向量。
扩展资料
矩阵特征值性质：
1.若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
2.若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
3.设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。
本回答被网友采纳证明如下：设λ是A的特征值，x是λ对应的特征向量，则Ax=λx，两边左乘A^(-1)有x=A^(-1)·λx，即λA^(-1)x=x。λ显然不为0，否则x为0，而特征向量不能为零向量。因此A^(-1)x=(1/λ)x，由特征值的定义可知1/λ是A^(-1)的一个特征值。
从证明过程还可以看出：如果x是A的特征值λ对应的一个特征向量，那么x也是A^(-1)的特征值1/λ对应的一个特征向量。
也是互逆的：
【证明】设λ是A的任意特征值，假设λ=0，则
|λE-A|=|-A|=(-1)^n·|A|=0
∴ |A|=0
与A可逆矛盾。
所以，λ≠0.
设x是λ对应的特征向量，
则 Ax=λx
∵ A可逆，
∴A^(-1)·Ax=A^(-1)·λx
即，x= A^(-1)·λx
∴ 1/λ·x=A^(-1)·x
∴1/λ 是 A^(-1)的一个特征值。
λ显然不为0，否则x为0
如果A可逆那么A非奇异，那么0就不可能是A的特征值
