已知抛物线C:y²=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与其交于A,B两点,若向量MA与向量MB的向量积=0,求k
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第1个回答 2014-01-04
很明显,抛物线C的焦点坐标为(2,0),∴AB的方程可写成:y=k(x-2)=kx-2k,
∴A、B的坐标可分别设为(m,km-2k)、(n,kn-2k),
∴向量MA=(m+2,km-2k-2)、向量MB=(n+2,kn-2k-2)。
联立:y=kx-2k、y^2=8x,消去y,得:k^2x^2-4k^2x+4k^2=8x,
∴k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0。
显然,m、n是方程k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0的两根,∴由韦达定理,有:
m+n=(4k^2+8)/k^2、mn=4。
∵向量MA·向量MB=0,∴(m+2)(n+2)+(km-2k-2)(kn-2k-2)=0,
∴mn+2(m+n)+4+k^2mn-(2k+2)k(m+n)+(2k+2)^2=0,
∴(1+k^2)mn-(2k^2+2k-2)(m+n)+(2k+2)^2+4=0,
∴4(1+k^2)-(2k^2+2k-2)(4k^2+8)/k^2+(2k+2)^2+4=0,
∴(1+k^2)-(2k^2+2k-2)(k^2+2)/k^2+(k+1)^2+1=0,
∴(1+k^2)-(2k^4+4k^2+2k^3+4k-2k^2-4)/k^2+(k^2+2k+1)+1=0,
∴(1+k^2)-(2k^2+4+2k-2)-(4k-4)/k^2+k^2+2k+2=0,
∴1-(4k-4)/k^2=0,∴k^2-4k+4=0,∴(k-2)^2=0,∴k=2。
∴A、B的坐标可分别设为(m,km-2k)、(n,kn-2k),
∴向量MA=(m+2,km-2k-2)、向量MB=(n+2,kn-2k-2)。
联立:y=kx-2k、y^2=8x,消去y,得:k^2x^2-4k^2x+4k^2=8x,
∴k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0。
显然,m、n是方程k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0的两根,∴由韦达定理,有:
m+n=(4k^2+8)/k^2、mn=4。
∵向量MA·向量MB=0,∴(m+2)(n+2)+(km-2k-2)(kn-2k-2)=0,
∴mn+2(m+n)+4+k^2mn-(2k+2)k(m+n)+(2k+2)^2=0,
∴(1+k^2)mn-(2k^2+2k-2)(m+n)+(2k+2)^2+4=0,
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∴(1+k^2)-(2k^4+4k^2+2k^3+4k-2k^2-4)/k^2+(k^2+2k+1)+1=0,
∴(1+k^2)-(2k^2+4+2k-2)-(4k-4)/k^2+k^2+2k+2=0,
∴1-(4k-4)/k^2=0,∴k^2-4k+4=0,∴(k-2)^2=0,∴k=2。