如题所述
设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，那么：
总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①和b-ε<f（x）<b+ε②。
令δ=min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨<δ时。①，②同时成立，即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限。
扩展资料
首先用极限概念给出‘导数’的正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f(x)的导数定义为差商
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的抽象定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 
’极限思想’方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题,正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法.
参考资料百度百科-极限
证明如下：
假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，任意给定ε>0。
总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①和b-ε<f（x）<b+ε②。
令δ=min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。
因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。
即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。
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的定义是：设函数f(x)在点x.的某一内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（无论它多么小）,总存在正数δ ,使得当x满足不等式0。
参考资料：
本回答被网友采纳|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
下面根据上面的定义证明唯一性。 反证法， 假设另外还存在一个A1为f(x)在x0处的极限，且 |A1-A|>0.
取定义中的 ε=|A1-A|/2，
存在正数δ1 ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ1 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε
存在正数δ2 ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ2 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A1|<ε
设 δ=min(δ1，δ2), 即为δ1，δ2中小的那个。则当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε和 |f(x)-A1|<ε
于是 |A-A1| <= |A-f(x)| + |f(x)-A1| < 2ε = |A1-A|.
矛盾！ 所以极限唯一。
祝学业有成。本回答被网友采纳
假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，根据极限的柯西定义，有如下结论：
任意给定ε>0（要注意，这个ε是对a，b都成立）。
总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①和b-ε<f（x）<b+ε②。
令δ=min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。
因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。
即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：“ε可以任意小”矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。
倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明，证法完全一样。
证毕。本回答被网友采纳
lim Xn=a lim Xn=b
由定义：
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|Xn-a|<ε/2
对上述ε>0，存在N2>0，当n>N2，有|Xn-b|<ε/2
因此，取N=max{N1,N2}
对上述ε>0，存在N>0，当n>N，有|Xn-a|<ε且|Xn-b|<ε/2
而，|b-a|=|Xn-a-Xn+b|<|Xn-a|+|Xn-b|<ε/2+ε/2=ε
故，a=b
保号性：
lim xn=a>0
由定义：
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|xn-a|<ε
由ε的任意性可知，上定义对任何ε都成立
不妨取ε=a/2
则有，|xn-a|<a/2
即，a/2<xn<3a/2
故有：
存在N>0，当n>N，有xn>a/2
同理可证a<0的情况
保号性的意义：
如果有一个数列an，其极限lim an=a>0
那么，我们可以知道，必定存在一个N，当n>N，所有的an>0
小于0同理
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