如题所述
解：
设a是阶数为5的循环群的生成元，因在比5小的正整数中有且仅有2，3，4与5互质，所以a4,a3,a2也是生成元，因此生成元个数为4。
设a是阶数为6的循环群的生成元，因在比6小的正整数中有且仅有5与6互质，所以5a也是生成元，因此生成元个数为2。
设a是阶数为14的循环群的生成元，因在比14小的正整数中有且仅有3，5，9，11，13与
14互质，所以a13,a11,a9,a5,a3,也是生成元，因此生成元个数为6。
设a是阶数为15的循环群的生成元，因在比15小的正整数中有且仅有2，4，8，11，13，14与15互质，所以a14,a13,a11,a8,a4,a2,也是生成元，因此生成元个数为7。
扩展资料
循环群的性质有以下：
一.定理1
设(a)是—个循环群，
(1)若|a|=∞，则(a)与整数加群Z同构；
(2)若IaI=n，则(a)与模n的剩余类加群Zn同构。
证(1)|a|=∞，则当m≠n时，
am≠an，(a)={…，a-2，a-1，e，a1，a2，…}。
于是令 φ：(a)→Z，am→m可以证明这是循环群(a)到整数加群Z的一个双射，且
φ(am·an)=φ(am+n)=m+n=φ(am)+φ(an)，
故φ是(a)到Z的一个同构映射，所以(a)≌Z。
(2)设IaI=n，则(a)={e，a，a2，…，an-1}
令 σ：(a)→Zn，am→[m]。
若有m，m′∈Z，m′>m使得am=am'，则am'-m=e，而an=e，所以n | m'-m，即m'=m(mod n)，因此[m′]=[m]，故σ是(a)到Zn的—个映射。
又∀[0]≤[k]≤[n-1]，有ak∈(a)，使得[k]=σ(ak)，且若am≠am′，则σ(am)≠σ(am′)，同时∀am、am′∈(a)，
σ(am·am')=σ(am+m')
=[m+m′]=[m]+[m′]
=σ(am)+σ(am′)，
所以σ是(a)到Zn的一个同构映射，即(a)≌Zn。
二.定理2
有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元，且在Z中除零元外，每个元的阶都是无限的。
证已证1和-1可以作为整数加群Z的生成元，如果另有k是生成元，则(k)=(1)=Z，这时由1∈(k)={km,m∈Z}，即存在m∈Z，使1=km，于是k=m=±1，所以只有两个元1与-1可以作为整数加群Z的生成元。
若k∈Z，k≠0，则∀m，n∈Z，m≠n，有mk≠nk，所以IkI=∞
说明，有且仅有两个元a与a-1可以作为无限循环群(a)的生成元，在无限循环群(a)中除单位元的阶是1以外，其余元的阶都是无限的。
三.定理3
在模n的剩余类Zn中，有
(1)|[k]|=n/(k,n)
(2)[k]是Zn的生成元<=>(k，n)=1。
证 (1)由定理可得。
(2)若[k]∈Zn，则([k])⊆Zn，由(1)与(k，n)=1知|[k]|=n，所以|([k])|=n，Zn=([k])
反之，设[k]是Zn的生成元，有([k])=Zn，所以|([k])|=n，由(1)知(k，n)=1。
此定理说明|(a)| =n时，(ak)=(a)<=>(k，n)=1。
参考资料来源：百度百科--循环群
