高中数学双曲线满足三角形F1PF2面积问题

如果你知道公式，可以直接用公式：S = b^2*cot(θ/2) ，其中 θ 就是角 F1PF2 。这叫焦点三角形面积公式。
下面就证明下，你记住后就可以用了。椭圆中类似，是 S = b^2*tan(θ/2) 。

设 |PF1|=m，|PF2|=n ，
由余弦定理，|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1|*|PF2|*cosθ = |F1F2|^2 ，
也即 m^2+n^2-2mncosθ = 4c^2 ，------------（1）
又由双曲线定义，| |PF1|-|PF2| | = 2a ，
平方得 m^2+n^2-2mn = 4a^2 ，-------------（2）
（1）-（2）得 2mn-2mncosθ = 4(c^2-a^2) = 4b^2 ，
因此可得 mn = 2b^2/(1-cosθ)，
所以，S = 1/2*|PF1|*|PF2|*sinθ = 1/2*mn*sinθ
= b^2*sinθ/(1-cosθ)
= b^2*cot(θ/2) 。这里用到倍角公式。

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