如题所述
函数导数的定义如下:
导数是微积分的一个基本概念,是用来描述函数局部变化率的度量。对于给定的函数,它在某一点处的导数,就是函数曲线在该点处的切线斜率。
具体地说,若函数y=f(x)在点x0处可导,则点(x0,f(x0))处切线的斜率就是f(x)在点x0处的导数f'(x0)。导数本质上是一个极限,即函数在某个点x0处的导数,就是其在此点附近取极限时的极限值,即:f'(x0)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/[x-x0]。
导数的意义非常广泛,下面列出其中的几个:
1、函数的增减性:如果导数在某个点x处为正,说明函数在这个点的左边是上升的,右边是下降的;反之,如果导数在某个点x处为负,说明函数在这个点的左边是下降的,右边是上升的。如果导数在某个点x处为零,说明函数在这个点处达到了极值,可能是极大值或极小值。
2、函数的凸凹性:如果导数在某个点x处单调递增,则说明函数在这个点处是凸向上的;反之,导数在某个点x处单调递减,则说明函数在此点处是凸向下的。
3、极值问题:如果函数在某个点x的导数为零,说明此点处可能存在一个极值(局部最大值或最小值)。因此,求函数的极值问题可以转化为求其导数的零点问题。
4、速度和加速度:若函数y=f(x)表示某个物体的位移关于时间的函数,则函数在某个时间点x0处的导数f'(x0)即是该物体在这个时刻的瞬时速度。物体的加速度就是速度的导数,即f''(x0)。
5、切线,法线和曲率:在某个点x0处,函数曲线的切线斜率就是该点的导数f'(x0),法线斜率则是其相反数的倒数,即-1/f'(x0)。某一点处函数曲线的曲率则是它的导数f''(x0)与切线斜率的比值。